Номер 363, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

363. Сшит колпак формы усеченного конуса, образующая которого 20 см, диаметр верхнего основания 8 см, а высота 16 см. Подойдет ли такая шляпа для головы снеговика, если окружность его головы равна 1 м?

Дано:

$l = 20 \text{ см}$ (образующая усеченного конуса)

$d_1 = 8 \text{ см}$ (диаметр верхнего основания)

$h = 16 \text{ см}$ (высота усеченного конуса)

$C_{head} = 1 \text{ м}$ (окружность головы снеговика)

Перевод в систему СИ:

$l = 0.20 \text{ м}$

$d_1 = 0.08 \text{ м}$

$h = 0.16 \text{ м}$

$C_{head} = 1 \text{ м}$

Найти:

Подойдет ли такая шляпа для головы снеговика?

Решение:

Для того чтобы определить, подойдет ли колпак для головы снеговика, необходимо найти окружность нижнего основания колпака ($C_2$) и сравнить ее с окружностью головы снеговика ($C_{head}$). Если $C_2 \ge C_{head}$, то колпак подойдет.

Сначала найдем радиус верхнего основания $r_1$ из заданного диаметра $d_1$:

$r_1 = \frac{d_1}{2} = \frac{0.08 \text{ м}}{2} = 0.04 \text{ м}$

Представим усеченный конус. Если провести высоту от верхнего основания до нижнего, и также провести образующую, то образуется прямоугольный треугольник. Гипотенузой этого треугольника будет образующая $l$, одним катетом - высота $h$, а вторым катетом - разность радиусов нижнего и верхнего оснований ($r_2 - r_1$).

По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (r_2 - r_1)^2$

Отсюда выразим разность радиусов:

$(r_2 - r_1)^2 = l^2 - h^2$

$r_2 - r_1 = \sqrt{l^2 - h^2}$

Подставим известные значения:

$r_2 - r_1 = \sqrt{(0.20 \text{ м})^2 - (0.16 \text{ м})^2}$

$r_2 - r_1 = \sqrt{0.04 \text{ м}^2 - 0.0256 \text{ м}^2}$

$r_2 - r_1 = \sqrt{0.0144 \text{ м}^2}$

$r_2 - r_1 = 0.12 \text{ м}$

Теперь найдем радиус нижнего основания $r_2$:

$r_2 = r_1 + 0.12 \text{ м}$

$r_2 = 0.04 \text{ м} + 0.12 \text{ м}$

$r_2 = 0.16 \text{ м}$

Вычислим окружность нижнего основания колпака $C_2$ по формуле $C = 2 \pi r$:

$C_2 = 2 \pi r_2$

$C_2 = 2 \pi (0.16 \text{ м})$

$C_2 = 0.32 \pi \text{ м}$

Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$:

$C_2 \approx 0.32 \times 3.14159 \text{ м}$

$C_2 \approx 1.0053 \text{ м}$

Сравним окружность нижнего основания колпака с окружностью головы снеговика:

$C_2 \approx 1.0053 \text{ м}$

$C_{head} = 1 \text{ м}$

Так как $1.0053 \text{ м} > 1 \text{ м}$, окружность нижнего основания колпака больше окружности головы снеговика.

Ответ:

Да, такая шляпа подойдет для головы снеговика.