Номер 357, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

357. В правильной треугольной пирамиде вершина основания удалена на 10 см от противолежащей боковой грани. В пирамиду вписан конус, образующая которого наклонена к основанию под углом 75°. Найдите высоту и радиус основания конуса.

Дано:

Расстояние от вершины основания до противолежащей боковой грани: $d = 10 \text{ см}$

Угол наклона образующей вписанного конуса к основанию: $\alpha = 75^\circ$

Перевод в СИ:

$d = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$\alpha = 75^\circ$

Найти:

Высоту конуса: $H_c$

Радиус основания конуса: $r_c$

Решение:

обозначим высоту правильной треугольной пирамиды через $H$, а радиус вписанной в ее основание окружности (который также является радиусом основания вписанного конуса) через $r$.

для правильной треугольной пирамиды, расстояние от вершины основания до противолежащей боковой грани ($d$) может быть выражено через высоту пирамиды $H$ и радиус $r$.

рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через вершину $S$, центр основания $O$ и середину $M$ стороны основания, противоположной рассматриваемой вершине $A$. в этом сечении лежит прямоугольный треугольник $\triangle SOM$, где $SO = H$ (высота пирамиды), $OM = r$ (радиус вписанной окружности основания), и $SM = h_s$ (апофема боковой грани).

длина отрезка $AM$, являющегося высотой правильного треугольника в основании, равна $3r$.

расстояние $d$ от вершины $A$ до противолежащей боковой грани $SBC$ является высотой, опущенной из вершины $A$ на апофему $SM$ в треугольнике $\triangle ASM$.

площадь треугольника $\triangle ASM$ может быть выражена двумя способами:

$s_{\triangle asm} = \frac{1}{2} \cdot am \cdot so = \frac{1}{2} \cdot 3r \cdot h$

$s_{\triangle asm} = \frac{1}{2} \cdot sm \cdot d = \frac{1}{2} \cdot h_s \cdot d$

приравнивая эти выражения, получаем:

$3rh = h_s d$

из прямоугольного треугольника $\triangle SOM$ имеем $h_s = \sqrt{h^2 + r^2}$.

таким образом, $d = \frac{3rh}{\sqrt{h^2 + r^2}}$.

по условию, $d = 10 \text{ см}$. поэтому:

$10 = \frac{3rh}{\sqrt{h^2 + r^2}} \quad (*)$

для вписанного конуса, его высота $H_c$ равна высоте пирамиды $H$, а радиус основания $r_c$ равен радиусу $r$.

образующая конуса наклонена к основанию под углом $\alpha = 75^\circ$. из свойств прямоугольного треугольника, образованного высотой конуса, радиусом его основания и образующей, имеем:

$\tan(\alpha) = \frac{h_c}{r_c} \implies \tan(75^\circ) = \frac{h}{r}$

отсюда $h = r \tan(75^\circ)$.

подставим это выражение для $H$ в уравнение $(*)$:

$10 = \frac{3r(r \tan(75^\circ))}{\sqrt{(r \tan(75^\circ))^2 + r^2}}$

$10 = \frac{3r^2 \tan(75^\circ)}{\sqrt{r^2 (\tan^2(75^\circ) + 1)}}$

$10 = \frac{3r^2 \tan(75^\circ)}{r \sqrt{\tan^2(75^\circ) + 1}}$

так как $\sqrt{\tan^2(\alpha) + 1} = \sqrt{\sec^2(\alpha)} = \sec(\alpha)$ (для острого угла), то:

$10 = \frac{3r \tan(75^\circ)}{\sec(75^\circ)}$

заменим $\tan(75^\circ) = \frac{\sin(75^\circ)}{\cos(75^\circ)}$ и $\sec(75^\circ) = \frac{1}{\cos(75^\circ)}$:

$10 = 3r \frac{\sin(75^\circ)/\cos(75^\circ)}{1/\cos(75^\circ)}$

$10 = 3r \sin(75^\circ)$

найдем радиус $r$:

$r = \frac{10}{3 \sin(75^\circ)}$

значение $\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{}$.

тогда:

$r = \frac{10}{3 \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right)} = \frac{40}{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}$

для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{6} - \sqrt{2})$:

$r = \frac{40(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{40(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3(6 - 2)} = \frac{40(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3 \cdot 4} = \frac{10(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3} \text{ см}$

теперь найдем высоту $H = r \tan(75^\circ)$.

значение $\tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)} = \frac{1 + 1/\sqrt{3}}{1 - 1/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$.

для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{3} + 1)$:

$\tan(75^\circ) = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 + 1 + 2\sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.

тогда:

$h = \frac{10(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3} \cdot (2 + \sqrt{3})$

$h = \frac{10}{3} (2\sqrt{6} + \sqrt{18} - 2\sqrt{2} - \sqrt{6})$

$h = \frac{10}{3} (2\sqrt{6} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - \sqrt{6})$

$h = \frac{10}{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \text{ см}$

Ответ:

Радиус основания конуса: $r_c = \frac{10(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3} \text{ см}$

Высота конуса: $H_c = \frac{10(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{3} \text{ см}$