Номер 356, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

356. В конусе радиус основания относится к его высоте как 1 : $\sqrt{2}$. Найдите угол между боковыми гранями правильной треугольной пирамиды, вписанной в конус.

Дано

Конус, в него вписана правильная треугольная пирамида.

Отношение радиуса основания конуса $R$ к его высоте $H$: $R/H = 1/\sqrt{2}$.

Найти:

Угол между боковыми гранями правильной треугольной пирамиды ($\beta$).

Перевод в СИ

Данные представлены в виде отношения, не требуют перевода в СИ, так как являются безразмерными величинами.

Решение

1. Определение параметров пирамиды

Поскольку правильная треугольная пирамида вписана в конус, её вершина совпадает с вершиной конуса, а основание (правильный треугольник) вписано в основание конуса. Следовательно, высота пирамиды равна высоте конуса $H$, а радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен радиусу основания конуса $R$.

2. Выбор системы координат

Расположим центр основания конуса (и пирамиды) в начале координат $O(0, 0, 0)$. Вершина пирамиды $S$ будет лежать на оси $z$, то есть $S(0, 0, H)$. Вершины основания пирамиды (правильного треугольника) $A, B, C$ лежат на окружности радиуса $R$ в плоскости $xy$.
Координаты вершин основания можно задать следующим образом:
$A = (R, 0, 0)$
$B = (R\cos(2\pi/3), R\sin(2\pi/3), 0) = (-R/2, R\sqrt{3}/2, 0)$
$C = (R\cos(4\pi/3), R\sin(4\pi/3), 0) = (-R/2, -R\sqrt{3}/2, 0)$

3. Нахождение нормальных векторов к боковым граням

Для определения угла между двумя плоскостями (боковыми гранями) найдем векторы нормали к этим плоскостям. Рассмотрим грани $SBC$ и $SAB$.

Грань $SBC$:
Векторы, лежащие в плоскости грани:
$\vec{SB} = B - S = (-R/2, R\sqrt{3}/2, -H)$
$\vec{SC} = C - S = (-R/2, -R\sqrt{3}/2, -H)$
Вектор нормали $\vec{n_1}$ к грани $SBC$ можно найти как векторное произведение $\vec{SB} \times \vec{SC}$:
$\vec{n_1} = \det \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -R/2 & R\sqrt{3}/2 & -H \\ -R/2 & -R\sqrt{3}/2 & -H \end{vmatrix}$
$\vec{n_1} = \mathbf{i}((-R\sqrt{3}/2)(-H) - (-H)(-R\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}((-R/2)(-H) - (-H)(-R/2)) + \mathbf{k}((-R/2)(-R\sqrt{3}/2) - (R\sqrt{3}/2)(-R/2))$
$\vec{n_1} = \mathbf{i}(-R\sqrt{3}H/2 - R\sqrt{3}H/2) - \mathbf{j}(RH/2 - RH/2) + \mathbf{k}(R^2\sqrt{3}/4 + R^2\sqrt{3}/4)$
$\vec{n_1} = (-R\sqrt{3}H, 0, R^2\sqrt{3}/2)$.
Для удобства вычислений можно упростить вектор нормали, разделив его на общий множитель $R\sqrt{3}/2$:
$\vec{n_1}' = (-2H, 0, R)$.

Грань $SAB$:
Векторы, лежащие в плоскости грани:
$\vec{SA} = A - S = (R, 0, -H)$
$\vec{SB} = B - S = (-R/2, R\sqrt{3}/2, -H)$
Вектор нормали $\vec{n_2}$ к грани $SAB$ можно найти как векторное произведение $\vec{SA} \times \vec{SB}$:
$\vec{n_2} = \det \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ R & 0 & -H \\ -R/2 & R\sqrt{3}/2 & -H \end{vmatrix}$
$\vec{n_2} = \mathbf{i}(0 - (-HR\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}(-RH - HR/2) + \mathbf{k}(R^2\sqrt{3}/2 - 0)$
$\vec{n_2} = (HR\sqrt{3}/2, 3RH/2, R^2\sqrt{3}/2)$.
Упростим вектор нормали, разделив его на общий множитель $R/2$:
$\vec{n_2}' = (H\sqrt{3}, 3H, R\sqrt{3})$.

4. Вычисление угла между нормальными векторами

Угол $\beta$ между двумя плоскостями (боковыми гранями) равен углу между их нормальными векторами. Косинус угла $\beta$ определяется по формуле скалярного произведения векторов:
$\cos \beta = \frac{\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}'}{|\vec{n_1}'| |\vec{n_2}'|}$
Скалярное произведение:
$\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}' = (-2H)(H\sqrt{3}) + (0)(3H) + (R)(R\sqrt{3})$
$\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}' = -2H^2\sqrt{3} + R^2\sqrt{3} = \sqrt{3}(R^2 - 2H^2)$.
Модули векторов:
$|\vec{n_1}'| = \sqrt{(-2H)^2 + 0^2 + R^2} = \sqrt{4H^2 + R^2}$.
$|\vec{n_2}'| = \sqrt{(H\sqrt{3})^2 + (3H)^2 + (R\sqrt{3})^2} = \sqrt{3H^2 + 9H^2 + 3R^2} = \sqrt{12H^2 + 3R^2} = \sqrt{3(4H^2 + R^2)} = \sqrt{3}\sqrt{4H^2 + R^2}$.
Подставим полученные значения в формулу для $\cos \beta$:
$\cos \beta = \frac{\sqrt{3}(R^2 - 2H^2)}{\sqrt{4H^2 + R^2} \cdot \sqrt{3}\sqrt{4H^2 + R^2}} = \frac{R^2 - 2H^2}{4H^2 + R^2}$.

5. Использование данного отношения

По условию задачи, радиус основания конуса относится к его высоте как $1 : \sqrt{2}$, то есть $R/H = 1/\sqrt{2}$. Отсюда следует $R = H/\sqrt{2}$, или $R^2 = H^2/2$.
Подставим это отношение в выражение для $\cos \beta$:
$\cos \beta = \frac{H^2/2 - 2H^2}{4H^2 + H^2/2} = \frac{(H^2 - 4H^2)/2}{(8H^2 + H^2)/2} = \frac{-3H^2/2}{9H^2/2} = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}$.

6. Определение угла

Таким образом, угол $\beta$ между боковыми гранями правильной треугольной пирамиды равен $\arccos(-1/3)$. Поскольку косинус угла отрицательный, этот угол является тупым, что соответствует геометрии правильной треугольной пирамиды, где боковые грани сходятся под тупым углом.

Ответ:
Угол между боковыми гранями равен $\arccos(-1/3)$.