Номер 352, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

352. Найдите площадь поверхности тела, полученного в результате вращения ромба со стороной 4 см и углом $30^\circ$ вокруг:

а) его стороны;

б) его меньшей диагонали.

Дано:

Ромб со стороной $a = 4 \text{ см}$ и углом $\alpha = 30^\circ$.

Перевод в СИ:

$a = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$\alpha = 30^\circ = \frac{\pi}{6} \text{ рад}$

Найти:

a) Площадь поверхности тела, полученного вращением ромба вокруг его стороны ($S_a$).

б) Площадь поверхности тела, полученного вращением ромба вокруг его меньшей диагонали ($S_b$).

Решение:

a) его стороны

При вращении ромба вокруг одной из его сторон образуется тело, состоящее из центрального цилиндра и двух конусов, расположенных по бокам (если смотреть вдоль оси вращения). Поверхность этого тела включает боковую поверхность цилиндра и боковые поверхности двух конусов. Ось вращения совпадает со стороной ромба. Радиус основания цилиндра и конусов равен высоте ромба $h$, а образующая конусов (и длина цилиндра) равна стороне ромба $a$.

Высота ромба $h$ (перпендикуляр от вершины к стороне, вокруг которой происходит вращение) определяется как $h = a \sin \alpha$.

Боковая поверхность одного конуса: $S_{\text{конус}} = \pi r L = \pi h a = \pi (a \sin \alpha) a = \pi a^2 \sin \alpha$.

Боковая поверхность цилиндра: $S_{\text{цилиндр}} = 2 \pi r H = 2 \pi h a = 2 \pi (a \sin \alpha) a = 2 \pi a^2 \sin \alpha$.

Полная площадь поверхности тела вращения $S_a$ складывается из боковых поверхностей двух конусов и боковой поверхности цилиндра:

$S_a = 2 S_{\text{конус}} + S_{\text{цилиндр}} = 2 (\pi a^2 \sin \alpha) + (2 \pi a^2 \sin \alpha) = 4 \pi a^2 \sin \alpha$.

Подставим значения: $a = 4 \text{ см}$, $\alpha = 30^\circ$. Так как $\sin 30^\circ = 0.5$:

$S_a = 4 \pi (4 \text{ см})^2 \cdot 0.5 = 4 \pi (16 \text{ см}^2) \cdot 0.5 = 32 \pi \text{ см}^2$.

Ответ:

$32 \pi \text{ см}^2$.

б) его меньшей диагонали

При вращении ромба вокруг его меньшей диагонали образуется тело, состоящее из двух одинаковых конусов, соединенных своими основаниями (биконус).

Меньшая диагональ ромба соответствует острому углу $\alpha = 30^\circ$. Следовательно, ось вращения - это диагональ, соединяющая вершины с тупыми углами. Радиус основания конусов $r$ равен половине большей диагонали ромба, а образующая конусов равна стороне ромба $a$.

В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам. Рассмотрим один из четырех прямоугольных треугольников, образованных половинами диагоналей и стороной ромба. Угол при вершине, соответствующей острому углу ромба, равен $\alpha/2$.

Радиус основания конуса $r$ (половина большей диагонали) можно найти как $r = a \cos(\alpha/2)$.

Образующая конуса $L = a$.

Боковая поверхность одного конуса: $S_{\text{конус}} = \pi r L = \pi (a \cos(\alpha/2)) a = \pi a^2 \cos(\alpha/2)$.

Полная площадь поверхности тела вращения $S_b$ равна удвоенной боковой поверхности одного конуса:

$S_b = 2 S_{\text{конус}} = 2 \pi a^2 \cos(\alpha/2)$.

Подставим значения: $a = 4 \text{ см}$, $\alpha = 30^\circ$, так что $\alpha/2 = 15^\circ$.

Для $\cos 15^\circ$ используем формулу $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$:

$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

$S_b = 2 \pi (4 \text{ см})^2 \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) = 2 \pi (16 \text{ см}^2) \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) = 32 \pi \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) \text{ см}^2 = 8 \pi (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \text{ см}^2$.

Ответ:

$8 \pi (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \text{ см}^2$.