Номер 354, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

354. Найдите высоту конуса, в который вписана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания $a$ и углом $30^\circ$ между соседними боковыми ребрами.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида вписана в конус.

Сторона основания пирамиды: $a$

Угол между соседними боковыми ребрами пирамиды: $\alpha = 30^\circ$

Найти:

Высоту конуса $H$.

Решение:

1. Обозначим высоту конуса как $H$, радиус основания конуса как $R$, а длину бокового ребра пирамиды как $L$. Поскольку конус описан вокруг правильной четырехугольной пирамиды, вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды, а основание конуса является окружностью, описанной вокруг основания пирамиды. Основание правильной четырехугольной пирамиды — это квадрат со стороной $a$.

2. Найдем радиус $R$ основания конуса. Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали. Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $d = a\sqrt{2}$.

$R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, $R^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{a^2}{2}$.

3. Рассмотрим треугольник, образованный вершиной пирамиды и двумя соседними вершинами основания. Этот треугольник является равнобедренным с боковыми сторонами $L$ и основанием $a$. Угол между боковыми ребрами равен $30^\circ$. По теореме косинусов для этого треугольника:

$a^2 = L^2 + L^2 - 2 \cdot L \cdot L \cdot \cos(30^\circ)$

$a^2 = 2L^2 - 2L^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^2 = 2L^2 \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$a^2 = L^2 (2 - \sqrt{3})$

Выразим $L^2$:

$L^2 = \frac{a^2}{2 - \sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 + \sqrt{3})$:

$L^2 = \frac{a^2 (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{a^2 (2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = a^2 (2 + \sqrt{3})$

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$ (конуса), радиусом основания конуса $R$ и боковым ребром пирамиды $L$. Гипотенузой является боковое ребро $L$. По теореме Пифагора:

$H^2 + R^2 = L^2$

Выразим $H^2$:

$H^2 = L^2 - R^2$

Подставим найденные выражения для $L^2$ и $R^2$:

$H^2 = a^2 (2 + \sqrt{3}) - \frac{a^2}{2}$

$H^2 = a^2 \left(2 + \sqrt{3} - \frac{1}{2}\right)$

$H^2 = a^2 \left(\frac{4}{2} - \frac{1}{2} + \sqrt{3}\right)$

$H^2 = a^2 \left(\frac{3}{2} + \sqrt{3}\right)$

Извлечем квадратный корень:

$H = a\sqrt{\frac{3}{2} + \sqrt{3}}$

Ответ:

$H = a\sqrt{\frac{3}{2} + \sqrt{3}}$