Номер 353, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

353. В равносторонний конус вписана правильная шестиугольная пирамида. Найдите двугранный угол пирамиды при ребре ее основания.

Дано:

Равносторонний конус, в который вписана правильная шестиугольная пирамида.

Перевод в СИ:

Данные не требуют перевода в систему СИ, так как являются отношениями или углами без конкретных единиц измерения длины.

Найти:

Двугранный угол пирамиды при ребре ее основания.

Решение:

Пусть $R$ - радиус основания равностороннего конуса.

По определению равностороннего конуса, его образующая $L$ равна диаметру основания, то есть $L = 2R$.

Высота конуса $H$ может быть найдена из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей: $H^2 + R^2 = L^2$ $H^2 + R^2 = (2R)^2$ $H^2 + R^2 = 4R^2$ $H^2 = 3R^2$ $H = R\sqrt{3}$

Так как правильная шестиугольная пирамида вписана в конус, это означает, что вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса, а основание пирамиды (правильный шестиугольник) вписано в окружность основания конуса.

Следовательно, высота пирамиды равна высоте конуса: $H_{пир} = H = R\sqrt{3}$.

Радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне. Поэтому, если $a$ - сторона основания шестиугольной пирамиды, то $a = R$.

Двугранный угол при ребре основания пирамиды - это угол между боковой гранью и плоскостью основания. Чтобы найти этот угол, рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и апофему основания.

Апофема правильного шестиугольника (радиус вписанной окружности) $r_h$ с центром в точке $O$ и стороной $a$ вычисляется по формуле: $r_h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставляя $a=R$: $r_h = R \frac{\sqrt{3}}{2}$

Пусть $S$ - вершина пирамиды, $O$ - центр ее основания, и $M$ - середина ребра основания. Тогда $SO$ - высота пирамиды ($H$), $OM$ - апофема основания ($r_h$), а $SM$ - апофема боковой грани.

Треугольник $SOM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$. Искомый двугранный угол $\alpha$ равен углу $\angle SMO$.

В прямоугольном треугольнике $SOM$: $\tan \alpha = \frac{SO}{OM}$ $\tan \alpha = \frac{H}{r_h}$

Подставляем найденные значения $H$ и $r_h$: $\tan \alpha = \frac{R\sqrt{3}}{R \frac{\sqrt{3}}{2}}$ $\tan \alpha = \frac{1}{\frac{1}{2}}$ $\tan \alpha = 2$

Таким образом, двугранный угол при ребре основания пирамиды равен $\arctan(2)$.

Ответ:

$\arctan(2)$