Номер 359, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

359. Найдите высоту усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 3 м и 6 м, а образующая наклонена к основанию под углом:

а) $45^\circ$;

б) $30^\circ$.

Дано:

Радиус меньшего основания: $R_1 = 3 \text{ м}$

Радиус большего основания: $R_2 = 6 \text{ м}$

Угол наклона образующей к основанию: $\alpha$

Перевод в СИ:

Все величины уже представлены в системе СИ.

Найти:

Высота усеченного конуса $H$ при:

а) $\alpha = 45^\circ$

б) $\alpha = 30^\circ$

Решение:

Для решения задачи представим осевое сечение усеченного конуса, которое является равнобедренной трапецией. Высота этой трапеции соответствует высоте усеченного конуса $H$. Если опустить перпендикуляр из вершины меньшего основания на большее основание, мы образуем прямоугольный треугольник. В этом треугольнике одним катетом является высота конуса $H$, а другим катетом — разность радиусов оснований: $R_2 - R_1$. Гипотенузой этого треугольника является образующая усеченного конуса $l$. Угол между образующей и большим основанием, данный в условии, равен $\alpha$.

Используем определение тангенса в прямоугольном треугольнике:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$

В нашем случае, противолежащий катет равен высоте $H$, а прилежащий катет равен разности радиусов $R_2 - R_1$. Таким образом, получаем формулу:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{R_2 - R_1}$

Выразим из этой формулы высоту $H$:

$H = (R_2 - R_1) \cdot \tan(\alpha)$

Рассчитаем разность радиусов:

$R_2 - R_1 = 6 \text{ м} - 3 \text{ м} = 3 \text{ м}$.

a) 45°

Подставим значение угла $\alpha = 45^\circ$ в формулу для высоты:

$H_a = 3 \cdot \tan(45^\circ)$

Известно, что $\tan(45^\circ) = 1$.

$H_a = 3 \cdot 1$

$H_a = 3 \text{ м}$

Ответ: 3 м

б) 30°

Подставим значение угла $\alpha = 30^\circ$ в формулу для высоты:

$H_б = 3 \cdot \tan(30^\circ)$

Известно, что $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

$H_б = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

$H_б = \frac{3}{\sqrt{3}}$

Для устранения иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$H_б = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}$

$H_б = \frac{3\sqrt{3}}{3}$

$H_б = \sqrt{3} \text{ м}$

Ответ: $\sqrt{3}$ м