Номер 361, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

361. Дан усеченный конус, площадь осевого сечения которого равна $32 \text{ см}^2$. Высота усеченного конуса равна диаметру верхнего основания, а его образующая наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите:

а) радиусы оснований этого усеченного конуса;

б) длину его образующей.

Дано:

Усеченный конус

Площадь осевого сечения $S = 32 \text{ см}^2$

Высота усеченного конуса $H$ равна диаметру верхнего основания: $H = 2r_1$

Угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 45^\circ$

Перевод данных в систему СИ:

$S = 32 \text{ см}^2 = 32 \times 10^{-4} \text{ м}^2$

Угол $\alpha = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \text{ рад}$

Найти:

а) радиусы оснований $r_1$, $r_2$

б) длину образующей $l$

Решение:

Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию. Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса, т.е. $2r_1$ (верхнее основание) и $2r_2$ (нижнее основание), а высота трапеции равна высоте конуса $H$.

Площадь трапеции (осевого сечения) вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}(2r_1 + 2r_2)H = (r_1 + r_2)H$.

По условию, $S = 32 \text{ см}^2$, поэтому:

$(r_1 + r_2)H = 32$ (Уравнение 1)

Также дано, что высота усеченного конуса равна диаметру верхнего основания: $H = 2r_1$. (Уравнение 2)

Образующая $l$ усеченного конуса наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$. Если опустить перпендикуляр из вершины верхнего основания на плоскость нижнего основания, образуется прямоугольный треугольник. Катеты этого треугольника - высота конуса $H$ и разность радиусов оснований $(r_2 - r_1)$. Гипотенуза - образующая $l$.

В этом прямоугольном треугольнике угол наклона образующей к основанию равен $45^\circ$. Следовательно:

$\tan(45^\circ) = \frac{H}{r_2 - r_1}$

Так как $\tan(45^\circ) = 1$, получаем: $H = r_2 - r_1$. (Уравнение 3)

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

1. $(r_1 + r_2)H = 32$

2. $H = 2r_1$

3. $H = r_2 - r_1$

Из уравнений (2) и (3) следует, что $2r_1 = r_2 - r_1$.

Отсюда выразим $r_2$: $r_2 = 2r_1 + r_1 = 3r_1$. (Уравнение 4)

Подставим Уравнение 4 и Уравнение 2 в Уравнение 1:

$(r_1 + 3r_1)(2r_1) = 32$

$(4r_1)(2r_1) = 32$

$8r_1^2 = 32$

$r_1^2 = \frac{32}{8}$

$r_1^2 = 4$

Так как радиус должен быть положительным, $r_1 = 2 \text{ см}$.

Теперь найдем $r_2$ используя Уравнение 4:

$r_2 = 3r_1 = 3 \times 2 = 6 \text{ см}$.

Теперь найдем высоту $H$ используя Уравнение 2:

$H = 2r_1 = 2 \times 2 = 4 \text{ см}$.

Проверим соответствие с Уравнением 3: $r_2 - r_1 = 6 - 2 = 4 \text{ см}$. Значения совпадают.

а) радиусы оснований этого усеченного конуса

Мы нашли радиусы: $r_1 = 2 \text{ см}$ (радиус верхнего основания) и $r_2 = 6 \text{ см}$ (радиус нижнего основания).

Ответ: $r_1 = 2 \text{ см}$, $r_2 = 6 \text{ см}$.

б) длину его образующей

Используя прямоугольный треугольник, образованный высотой $H$, разностью радиусов $(r_2 - r_1)$ и образующей $l$, по теореме Пифагора имеем:

$l^2 = H^2 + (r_2 - r_1)^2$

Мы знаем, что $H = r_2 - r_1$, поэтому:

$l^2 = H^2 + H^2 = 2H^2$

$l = \sqrt{2H^2} = H\sqrt{2}$

Подставим значение $H = 4 \text{ см}$:

$l = 4\sqrt{2} \text{ см}$.

Также можно использовать соотношение через синус угла в том же прямоугольном треугольнике:

$\sin(45^\circ) = \frac{H}{l}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4}{l}$

$l = \frac{4 \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ см}$.

Ответ: $l = 4\sqrt{2} \text{ см}$.