Страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

359. Найдите высоту усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 3 м и 6 м, а образующая наклонена к основанию под углом:

а) $45^\circ$;

б) $30^\circ$.

Дано:

Радиус меньшего основания: $R_1 = 3 \text{ м}$

Радиус большего основания: $R_2 = 6 \text{ м}$

Угол наклона образующей к основанию: $\alpha$

Перевод в СИ:

Все величины уже представлены в системе СИ.

Найти:

Высота усеченного конуса $H$ при:

а) $\alpha = 45^\circ$

б) $\alpha = 30^\circ$

Решение:

Для решения задачи представим осевое сечение усеченного конуса, которое является равнобедренной трапецией. Высота этой трапеции соответствует высоте усеченного конуса $H$. Если опустить перпендикуляр из вершины меньшего основания на большее основание, мы образуем прямоугольный треугольник. В этом треугольнике одним катетом является высота конуса $H$, а другим катетом — разность радиусов оснований: $R_2 - R_1$. Гипотенузой этого треугольника является образующая усеченного конуса $l$. Угол между образующей и большим основанием, данный в условии, равен $\alpha$.

Используем определение тангенса в прямоугольном треугольнике:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$

В нашем случае, противолежащий катет равен высоте $H$, а прилежащий катет равен разности радиусов $R_2 - R_1$. Таким образом, получаем формулу:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{R_2 - R_1}$

Выразим из этой формулы высоту $H$:

$H = (R_2 - R_1) \cdot \tan(\alpha)$

Рассчитаем разность радиусов:

$R_2 - R_1 = 6 \text{ м} - 3 \text{ м} = 3 \text{ м}$.

a) 45°

Подставим значение угла $\alpha = 45^\circ$ в формулу для высоты:

$H_a = 3 \cdot \tan(45^\circ)$

Известно, что $\tan(45^\circ) = 1$.

$H_a = 3 \cdot 1$

$H_a = 3 \text{ м}$

Ответ: 3 м

б) 30°

Подставим значение угла $\alpha = 30^\circ$ в формулу для высоты:

$H_б = 3 \cdot \tan(30^\circ)$

Известно, что $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

$H_б = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

$H_б = \frac{3}{\sqrt{3}}$

Для устранения иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$H_б = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}$

$H_б = \frac{3\sqrt{3}}{3}$

$H_б = \sqrt{3} \text{ м}$

Ответ: $\sqrt{3}$ м

360. a) Найдите высоту ведра, имеющего форму усеченного конуса с большим верхним основанием, если его образующая 2,5 дм, а радиусы оснований равны 1,7 дм и 1 дм.

б) Найдите длину образующей усеченного конуса, высота которого равна $\sqrt{30}$ дм, а площади оснований $6\pi$ дм2 и $24\pi$ дм2.

а) Найдите высоту ведра, имеющего форму усеченного конуса с большим верхним основанием, если его образующая 2,5 дм, а радиусы оснований равны 1,7 дм и 1 дм.

Дано

Форма: усеченный конус

Радиус большего основания ($R_1$): $1,7$ дм

Радиус меньшего основания ($R_2$): $1$ дм

Образующая ($l$): $2,5$ дм

Перевод в СИ:

$R_1 = 1,7 \text{ дм} = 0,17 \text{ м}$

$R_2 = 1 \text{ дм} = 0,1 \text{ м}$

$l = 2,5 \text{ дм} = 0,25 \text{ м}$

Найти:

Высота ($h$) усеченного конуса

Решение

Для усеченного конуса существует формула, связывающая высоту ($h$), образующую ($l$) и радиусы оснований ($R_1$, $R_2$):

$l^2 = h^2 + (R_1 - R_2)^2$

Из этой формулы выразим высоту $h$:

$h^2 = l^2 - (R_1 - R_2)^2$

$h = \sqrt{l^2 - (R_1 - R_2)^2}$

Подставим данные значения:

$R_1 - R_2 = 1,7 \text{ дм} - 1 \text{ дм} = 0,7 \text{ дм}$

$h = \sqrt{(2,5 \text{ дм})^2 - (0,7 \text{ дм})^2}$

$h = \sqrt{6,25 \text{ дм}^2 - 0,49 \text{ дм}^2}$

$h = \sqrt{5,76 \text{ дм}^2}$

$h = 2,4 \text{ дм}$

Ответ: $2,4 \text{ дм}$

б) Найдите длину образующей усеченного конуса, высота которого равна $\sqrt{30}$ дм, а площади оснований $6\pi$ дм$^2$ и $24\pi$ дм$^2$.

Дано

Форма: усеченный конус

Высота ($h$): $\sqrt{30}$ дм

Площадь одного основания ($S_1$): $24\pi$ дм$^2$ (большее основание)

Площадь другого основания ($S_2$): $6\pi$ дм$^2$ (меньшее основание)

Перевод в СИ:

$h = \sqrt{30} \text{ дм} \approx 5,477 \text{ дм} = 0,5477 \text{ м}$

$S_1 = 24\pi \text{ дм}^2 = 0,24\pi \text{ м}^2$

$S_2 = 6\pi \text{ дм}^2 = 0,06\pi \text{ м}^2$

Найти:

Длина образующей ($l$) усеченного конуса

Решение

Сначала найдем радиусы оснований, используя формулу площади круга $S = \pi r^2$.

Для большего основания:

$S_1 = \pi R_1^2$

$24\pi = \pi R_1^2$

$R_1^2 = 24$

$R_1 = \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6} \text{ дм}$

Для меньшего основания:

$S_2 = \pi R_2^2$

$6\pi = \pi R_2^2$

$R_2^2 = 6$

$R_2 = \sqrt{6} \text{ дм}$

Теперь используем формулу для образующей усеченного конуса:

$l^2 = h^2 + (R_1 - R_2)^2$

Вычислим разность радиусов:

$R_1 - R_2 = 2\sqrt{6} \text{ дм} - \sqrt{6} \text{ дм} = \sqrt{6} \text{ дм}$

Подставим значения $h$ и $(R_1 - R_2)$:

$l^2 = (\sqrt{30} \text{ дм})^2 + (\sqrt{6} \text{ дм})^2$

$l^2 = 30 \text{ дм}^2 + 6 \text{ дм}^2$

$l^2 = 36 \text{ дм}^2$

$l = \sqrt{36 \text{ дм}^2}$

$l = 6 \text{ дм}$

Ответ: $6 \text{ дм}$

361. Дан усеченный конус, площадь осевого сечения которого равна $32 \text{ см}^2$. Высота усеченного конуса равна диаметру верхнего основания, а его образующая наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите:

а) радиусы оснований этого усеченного конуса;

б) длину его образующей.

Дано:

Усеченный конус

Площадь осевого сечения $S = 32 \text{ см}^2$

Высота усеченного конуса $H$ равна диаметру верхнего основания: $H = 2r_1$

Угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 45^\circ$

Перевод данных в систему СИ:

$S = 32 \text{ см}^2 = 32 \times 10^{-4} \text{ м}^2$

Угол $\alpha = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \text{ рад}$

Найти:

а) радиусы оснований $r_1$, $r_2$

б) длину образующей $l$

Решение:

Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию. Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса, т.е. $2r_1$ (верхнее основание) и $2r_2$ (нижнее основание), а высота трапеции равна высоте конуса $H$.

Площадь трапеции (осевого сечения) вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}(2r_1 + 2r_2)H = (r_1 + r_2)H$.

По условию, $S = 32 \text{ см}^2$, поэтому:

$(r_1 + r_2)H = 32$ (Уравнение 1)

Также дано, что высота усеченного конуса равна диаметру верхнего основания: $H = 2r_1$. (Уравнение 2)

Образующая $l$ усеченного конуса наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$. Если опустить перпендикуляр из вершины верхнего основания на плоскость нижнего основания, образуется прямоугольный треугольник. Катеты этого треугольника - высота конуса $H$ и разность радиусов оснований $(r_2 - r_1)$. Гипотенуза - образующая $l$.

В этом прямоугольном треугольнике угол наклона образующей к основанию равен $45^\circ$. Следовательно:

$\tan(45^\circ) = \frac{H}{r_2 - r_1}$

Так как $\tan(45^\circ) = 1$, получаем: $H = r_2 - r_1$. (Уравнение 3)

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

1. $(r_1 + r_2)H = 32$

2. $H = 2r_1$

3. $H = r_2 - r_1$

Из уравнений (2) и (3) следует, что $2r_1 = r_2 - r_1$.

Отсюда выразим $r_2$: $r_2 = 2r_1 + r_1 = 3r_1$. (Уравнение 4)

Подставим Уравнение 4 и Уравнение 2 в Уравнение 1:

$(r_1 + 3r_1)(2r_1) = 32$

$(4r_1)(2r_1) = 32$

$8r_1^2 = 32$

$r_1^2 = \frac{32}{8}$

$r_1^2 = 4$

Так как радиус должен быть положительным, $r_1 = 2 \text{ см}$.

Теперь найдем $r_2$ используя Уравнение 4:

$r_2 = 3r_1 = 3 \times 2 = 6 \text{ см}$.

Теперь найдем высоту $H$ используя Уравнение 2:

$H = 2r_1 = 2 \times 2 = 4 \text{ см}$.

Проверим соответствие с Уравнением 3: $r_2 - r_1 = 6 - 2 = 4 \text{ см}$. Значения совпадают.

а) радиусы оснований этого усеченного конуса

Мы нашли радиусы: $r_1 = 2 \text{ см}$ (радиус верхнего основания) и $r_2 = 6 \text{ см}$ (радиус нижнего основания).

Ответ: $r_1 = 2 \text{ см}$, $r_2 = 6 \text{ см}$.

б) длину его образующей

Используя прямоугольный треугольник, образованный высотой $H$, разностью радиусов $(r_2 - r_1)$ и образующей $l$, по теореме Пифагора имеем:

$l^2 = H^2 + (r_2 - r_1)^2$

Мы знаем, что $H = r_2 - r_1$, поэтому:

$l^2 = H^2 + H^2 = 2H^2$

$l = \sqrt{2H^2} = H\sqrt{2}$

Подставим значение $H = 4 \text{ см}$:

$l = 4\sqrt{2} \text{ см}$.

Также можно использовать соотношение через синус угла в том же прямоугольном треугольнике:

$\sin(45^\circ) = \frac{H}{l}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4}{l}$

$l = \frac{4 \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ см}$.

Ответ: $l = 4\sqrt{2} \text{ см}$.

362. а) Дан усеченный конус, высота которого равна 12 см, радиус нижнего основания равен 8 см, а тангенс угла между образующей и основанием равен 2,4. Найдите площадь верхнего основания этого усеченного конуса.

б) Образующая усеченного конуса, равная 16 см, наклонена к основанию под углом $60^\circ$. Найдите радиусы оснований этого усеченного конуса, если их отношение равно 3.

а)

Дано:

усеченный конус

высота $H = 12 \text{ см}$

радиус нижнего основания $R = 8 \text{ см}$

тангенс угла между образующей и основанием $\tan(\alpha) = 2.4$

Перевод в СИ:

$H = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$R = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

площадь верхнего основания $S_{верхнего}$

Решение:

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса, которое представляет собой равнобокую трапецию. Если опустить высоту из вершины верхнего основания на нижнее основание, образуется прямоугольный треугольник. Гипотенуза этого треугольника – образующая конуса, один катет – высота конуса $H$, а второй катет – разность радиусов оснований $R - r$, где $r$ – радиус верхнего основания.

Угол $\alpha$ между образующей и основанием находится в этом прямоугольном треугольнике. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета (высоты $H$) к прилежащему катету (разности радиусов $R-r$):

$\tan(\alpha) = \frac{H}{R-r}$

Подставим известные значения:

$2.4 = \frac{12 \text{ см}}{8 \text{ см} - r}$

Решим уравнение относительно $r$:

$2.4 \cdot (8 - r) = 12$

$8 - r = \frac{12}{2.4}$

$8 - r = 5$

$r = 8 - 5$

$r = 3 \text{ см}$

Площадь верхнего основания усеченного конуса вычисляется по формуле площади круга:

$S_{верхнего} = \pi r^2$

Подставим найденное значение $r$:

$S_{верхнего} = \pi \cdot (3 \text{ см})^2$

$S_{верхнего} = 9\pi \text{ см}^2$

Ответ: $9\pi \text{ см}^2$

б)

Дано:

усеченный конус

образующая $L = 16 \text{ см}$

угол наклона образующей к основанию $\alpha = 60^\circ$

отношение радиусов оснований $\frac{R}{r} = 3$ (где $R$ – радиус большего основания, $r$ – радиус меньшего основания)

Перевод в СИ:

$L = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

Найти:

радиусы оснований $R$ и $r$

Решение:

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Это равнобокая трапеция. Если опустить перпендикуляр из вершины верхнего основания на нижнее основание, образуется прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенуза – образующая конуса $L$, один катет – высота конуса, а второй катет – разность радиусов оснований $R-r$.

Угол наклона образующей к основанию $\alpha = 60^\circ$ находится в этом прямоугольном треугольнике. Косинус этого угла равен отношению прилежащего катета (разности радиусов $R-r$) к гипотенузе (образующей $L$):

$\cos(\alpha) = \frac{R-r}{L}$

Подставим известные значения:

$\cos(60^\circ) = \frac{R-r}{16 \text{ см}}$

Известно, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} = \frac{R-r}{16}$

Отсюда найдем разность радиусов:

$R-r = \frac{16}{2}$

$R-r = 8 \text{ см}$

Также дано отношение радиусов: $\frac{R}{r} = 3$. Это означает, что $R = 3r$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

1) $R - r = 8$

2) $R = 3r$

Подставим второе уравнение в первое:

$3r - r = 8$

$2r = 8$

$r = \frac{8}{2}$

$r = 4 \text{ см}$

Теперь найдем $R$:

$R = 3r = 3 \cdot 4 \text{ см}$

$R = 12 \text{ см}$

Ответ: радиусы оснований равны $4 \text{ см}$ и $12 \text{ см}$.

363. Сшит колпак формы усеченного конуса, образующая которого 20 см, диаметр верхнего основания 8 см, а высота 16 см. Подойдет ли такая шляпа для головы снеговика, если окружность его головы равна 1 м?

Дано:

$l = 20 \text{ см}$ (образующая усеченного конуса)

$d_1 = 8 \text{ см}$ (диаметр верхнего основания)

$h = 16 \text{ см}$ (высота усеченного конуса)

$C_{head} = 1 \text{ м}$ (окружность головы снеговика)

Перевод в систему СИ:

$l = 0.20 \text{ м}$

$d_1 = 0.08 \text{ м}$

$h = 0.16 \text{ м}$

$C_{head} = 1 \text{ м}$

Найти:

Подойдет ли такая шляпа для головы снеговика?

Решение:

Для того чтобы определить, подойдет ли колпак для головы снеговика, необходимо найти окружность нижнего основания колпака ($C_2$) и сравнить ее с окружностью головы снеговика ($C_{head}$). Если $C_2 \ge C_{head}$, то колпак подойдет.

Сначала найдем радиус верхнего основания $r_1$ из заданного диаметра $d_1$:

$r_1 = \frac{d_1}{2} = \frac{0.08 \text{ м}}{2} = 0.04 \text{ м}$

Представим усеченный конус. Если провести высоту от верхнего основания до нижнего, и также провести образующую, то образуется прямоугольный треугольник. Гипотенузой этого треугольника будет образующая $l$, одним катетом - высота $h$, а вторым катетом - разность радиусов нижнего и верхнего оснований ($r_2 - r_1$).

По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (r_2 - r_1)^2$

Отсюда выразим разность радиусов:

$(r_2 - r_1)^2 = l^2 - h^2$

$r_2 - r_1 = \sqrt{l^2 - h^2}$

Подставим известные значения:

$r_2 - r_1 = \sqrt{(0.20 \text{ м})^2 - (0.16 \text{ м})^2}$

$r_2 - r_1 = \sqrt{0.04 \text{ м}^2 - 0.0256 \text{ м}^2}$

$r_2 - r_1 = \sqrt{0.0144 \text{ м}^2}$

$r_2 - r_1 = 0.12 \text{ м}$

Теперь найдем радиус нижнего основания $r_2$:

$r_2 = r_1 + 0.12 \text{ м}$

$r_2 = 0.04 \text{ м} + 0.12 \text{ м}$

$r_2 = 0.16 \text{ м}$

Вычислим окружность нижнего основания колпака $C_2$ по формуле $C = 2 \pi r$:

$C_2 = 2 \pi r_2$

$C_2 = 2 \pi (0.16 \text{ м})$

$C_2 = 0.32 \pi \text{ м}$

Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$:

$C_2 \approx 0.32 \times 3.14159 \text{ м}$

$C_2 \approx 1.0053 \text{ м}$

Сравним окружность нижнего основания колпака с окружностью головы снеговика:

$C_2 \approx 1.0053 \text{ м}$

$C_{head} = 1 \text{ м}$

Так как $1.0053 \text{ м} > 1 \text{ м}$, окружность нижнего основания колпака больше окружности головы снеговика.

Ответ:

Да, такая шляпа подойдет для головы снеговика.

364. Бревно высотой 5 м формы усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 0,25 м и 0,09 м, распилили на три бревна, высоты которых равны. Найдите с точностью до 0,01 м длины образующих полученных усеченных конусов.

Дано:

Высота исходного бревна (усеченного конуса): $H = 5$ м

Радиус большего основания: $R = 0.25$ м

Радиус меньшего основания: $r = 0.09$ м

Количество частей, на которые распилили бревно: $n = 3$

Требуемая точность: $0.01$ м

Перевод данных в СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Длины образующих полученных усеченных конусов ($L_1, L_2, L_3$).

Решение:

Исходное бревно представляет собой усеченный конус с высотой $H = 5$ м и радиусами оснований $R = 0.25$ м и $r = 0.09$ м.

По условию, бревно распилили на три части равной высоты. Следовательно, высота каждого нового усеченного конуса будет $h = \frac{H}{n} = \frac{5}{3}$ м.

Длина образующей (наклонной высоты) усеченного конуса вычисляется по формуле: $L = \sqrt{h^2 + (R_{больший} - R_{меньший})^2}$, где $h$ — высота усеченного конуса, а $R_{больший}$ и $R_{меньший}$ — радиусы его оснований.

Поскольку исходный усеченный конус является частью полного конуса, радиус его поперечного сечения меняется линейно по высоте. Это означает, что при делении усеченного конуса на равные по высоте части, разность радиусов оснований каждой новой части также будет одинаковой.

Общая разность радиусов исходного усеченного конуса составляет $\Delta R_{общ} = R - r = 0.25 - 0.09 = 0.16$ м.

Поскольку бревно разделено на 3 части равной высоты, разность радиусов для каждой части будет: $\Delta R_{часть} = \frac{\Delta R_{общ}}{n} = \frac{0.16}{3}$ м.

Таким образом, для каждого из трех полученных усеченных конусов высота $h = \frac{5}{3}$ м и разность радиусов оснований $\Delta R = \frac{0.16}{3}$ м будут одинаковыми. Следовательно, длины образующих всех трех усеченных конусов будут равны между собой.

Рассчитаем длину образующей $L$:

$L = \sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^2 + \left(\frac{0.16}{3}\right)^2}$

$L = \sqrt{\frac{5^2}{3^2} + \frac{0.16^2}{3^2}}$

$L = \sqrt{\frac{25}{9} + \frac{0.0256}{9}}$

$L = \sqrt{\frac{25 + 0.0256}{9}}$

$L = \sqrt{\frac{25.0256}{9}}$

$L = \frac{\sqrt{25.0256}}{3}$

Вычислим численное значение:

$L \approx \frac{5.00255938}{3} \approx 1.66751979$ м

Округлим результат до 0.01 м:

$L \approx 1.67$ м

Ответ: $1.67$ м

365. Образующая усеченного конуса равна 8см и наклонена к плоскости его нижнего основания под углом $60^\circ$. Прямая, содержащая диагональ его осевого сечения, делит этот угол пополам. Найдите радиусы оснований усеченного конуса.

Дано:

Образующая усеченного конуса $l = 8$ см

Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания $\alpha = 60^\circ$

Диагональ осевого сечения делит этот угол пополам.

Перевод в СИ:

$l = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ$

Найти:

Радиусы оснований усеченного конуса $R$ и $r$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию $ABCD$, где $AB$ - диаметр верхнего основания ($2r$), $CD$ - диаметр нижнего основания ($2R$), а $AD$ и $BC$ - образующие ($l$).

1. Проведем высоту $AH$ из вершины $A$ к нижнему основанию $CD$. Треугольник $ADH$ является прямоугольным.

Длина образующей $AD = l = 8$ см.

Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания - это угол $\angle ADH = 60^\circ$.

Из прямоугольного треугольника $ADH$ найдем высоту усеченного конуса $h$ и отрезок $DH$:

$h = AH = AD \sin(\angle ADH) = 8 \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

$DH = AD \cos(\angle ADH) = 8 \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Отрезок $DH$ равен разности радиусов оснований: $DH = R - r$.

Таким образом, получаем первое уравнение: $R - r = 4$.

2. Условие "Прямая, содержащая диагональ его осевого сечения, делит этот угол пополам" означает, что диагональ трапеции (например, $BD$) делит угол $\angle ADH = 60^\circ$ (или $\angle ADC$, так как $H$ лежит на $CD$) пополам. Следовательно, $\angle BDC = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

3. Проведем высоту $BK$ из вершины $B$ к нижнему основанию $CD$. Высота $BK = h = 4\sqrt{3}$ см.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BKD$. В нем угол $\angle BDK = 30^\circ$.

Отрезок $KD$ можно найти через тангенс угла:

$KD = \frac{BK}{\tan(\angle BDK)} = \frac{4\sqrt{3}}{\tan(30^\circ)} = \frac{4\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

В равнобедренной трапеции осевого сечения $KD$ равен сумме радиусов оснований: $KD = R + r$.

Таким образом, получаем второе уравнение: $R + r = 12$.

5. Решим систему из двух уравнений:

$R - r = 4$

$R + r = 12$

Сложим оба уравнения:

$(R - r) + (R + r) = 4 + 12$

$2R = 16$

$R = \frac{16}{2} = 8$ см.

Подставим значение $R$ в первое уравнение:

$8 - r = 4$

$r = 8 - 4 = 4$ см.

Ответ:

Радиусы оснований усеченного конуса равны $R = 8$ см и $r = 4$ см.

366. a) Найдите длину образующей конуса, от которого отделен усеченный конус с радиусами оснований 18 см, 15 см и образующей 9 см.

б) Высота конуса равна $\sqrt{2}$ м. На каком расстоянии от его вершины надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площади оснований отсеченного усеченного конуса относились как 1 : 2?

a)

Дано:

Радиус большего основания усеченного конуса $R_1 = 18$ см.
Радиус меньшего основания усеченного конуса $R_2 = 15$ см.
Образующая усеченного конуса $L_{ус} = 9$ см.

Перевод в систему СИ:
$R_1 = 0.18$ м
$R_2 = 0.15$ м
$L_{ус} = 0.09$ м

Найти:
Длина образующей исходного полного конуса $L_{полн}$.

Решение:

Пусть полный конус имеет образующую $L_{полн}$ и радиус основания $R_1$. При отсечении верхней части конуса плоскостью, параллельной основанию, образуется меньший конус с образующей $L_{мал}$ и радиусом основания $R_2$. Усеченный конус, который остался, имеет образующую $L_{ус} = L_{полн} - L_{мал}$.

Малый конус и большой конус подобны. Из подобия треугольников (образованных высотой, радиусом и образующей) следует отношение:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{L_{полн}}{L_{мал}}$

Выразим $L_{мал}$ через $L_{полн}$:
$L_{мал} = L_{полн} \cdot \frac{R_2}{R_1}$

Теперь подставим это выражение в формулу для образующей усеченного конуса:
$L_{ус} = L_{полн} - L_{полн} \cdot \frac{R_2}{R_1}$
$L_{ус} = L_{полн} \left(1 - \frac{R_2}{R_1}\right)$
$L_{ус} = L_{полн} \left(\frac{R_1 - R_2}{R_1}\right)$

Выразим $L_{полн}$:
$L_{полн} = L_{ус} \cdot \frac{R_1}{R_1 - R_2}$

Подставим известные значения:
$L_{полн} = 9 \text{ см} \cdot \frac{18 \text{ см}}{18 \text{ см} - 15 \text{ см}}$
$L_{полн} = 9 \cdot \frac{18}{3}$
$L_{полн} = 9 \cdot 6$
$L_{полн} = 54$ см

Ответ: 54 см

б)

Дано:

Высота конуса $H = \sqrt{2}$ м.
Отношение площадей оснований отсеченного усеченного конуса $S_{мал} : S_{бол} = 1 : 2$. (Здесь $S_{мал}$ - площадь верхнего основания усеченного конуса, которое является основанием малого конуса, а $S_{бол}$ - площадь нижнего основания усеченного конуса, которое является основанием исходного полного конуса.)

Перевод в систему СИ:
$H = \sqrt{2}$ м
Отношение площадей безразмерно.

Найти:
Расстояние от вершины конуса до плоскости $h$.

Решение:

Пусть $H$ - высота исходного полного конуса, $R$ - радиус его основания.

Пусть плоскость, параллельная основанию, проведена на расстоянии $h$ от вершины конуса. Эта плоскость отсекает от исходного конуса меньший конус с высотой $h$ и радиусом основания $r$. Таким образом, усеченный конус имеет высоты $H-h$, нижнее основание с радиусом $R$ и верхнее основание с радиусом $r$.

Площади оснований полного и малого конусов (которые являются основаниями усеченного конуса) равны $S_{бол} = \pi R^2$ и $S_{мал} = \pi r^2$ соответственно.

Дано, что отношение этих площадей равно 1:2:
$\frac{S_{мал}}{S_{бол}} = \frac{1}{2}$

Подставим формулы площадей:
$\frac{\pi r^2}{\pi R^2} = \frac{1}{2}$
$\frac{r^2}{R^2} = \frac{1}{2}$
$\left(\frac{r}{R}\right)^2 = \frac{1}{2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$\frac{r}{R} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Полный конус и отсеченный малый конус подобны. Из подобия следует, что отношение их высот равно отношению их радиусов:
$\frac{h}{H} = \frac{r}{R}$

Таким образом, мы можем записать:
$\frac{h}{H} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Выразим $h$:
$h = H \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

Подставим заданную высоту $H = \sqrt{2}$ м:
$h = \sqrt{2} \text{ м} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$
$h = 1$ м

Ответ: 1 м