Номер 366, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

366. a) Найдите длину образующей конуса, от которого отделен усеченный конус с радиусами оснований 18 см, 15 см и образующей 9 см.

б) Высота конуса равна $\sqrt{2}$ м. На каком расстоянии от его вершины надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площади оснований отсеченного усеченного конуса относились как 1 : 2?

a)

Дано:

Радиус большего основания усеченного конуса $R_1 = 18$ см.
Радиус меньшего основания усеченного конуса $R_2 = 15$ см.
Образующая усеченного конуса $L_{ус} = 9$ см.

Перевод в систему СИ:
$R_1 = 0.18$ м
$R_2 = 0.15$ м
$L_{ус} = 0.09$ м

Найти:
Длина образующей исходного полного конуса $L_{полн}$.

Решение:

Пусть полный конус имеет образующую $L_{полн}$ и радиус основания $R_1$. При отсечении верхней части конуса плоскостью, параллельной основанию, образуется меньший конус с образующей $L_{мал}$ и радиусом основания $R_2$. Усеченный конус, который остался, имеет образующую $L_{ус} = L_{полн} - L_{мал}$.

Малый конус и большой конус подобны. Из подобия треугольников (образованных высотой, радиусом и образующей) следует отношение:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{L_{полн}}{L_{мал}}$

Выразим $L_{мал}$ через $L_{полн}$:
$L_{мал} = L_{полн} \cdot \frac{R_2}{R_1}$

Теперь подставим это выражение в формулу для образующей усеченного конуса:
$L_{ус} = L_{полн} - L_{полн} \cdot \frac{R_2}{R_1}$
$L_{ус} = L_{полн} \left(1 - \frac{R_2}{R_1}\right)$
$L_{ус} = L_{полн} \left(\frac{R_1 - R_2}{R_1}\right)$

Выразим $L_{полн}$:
$L_{полн} = L_{ус} \cdot \frac{R_1}{R_1 - R_2}$

Подставим известные значения:
$L_{полн} = 9 \text{ см} \cdot \frac{18 \text{ см}}{18 \text{ см} - 15 \text{ см}}$
$L_{полн} = 9 \cdot \frac{18}{3}$
$L_{полн} = 9 \cdot 6$
$L_{полн} = 54$ см

Ответ: 54 см

б)

Дано:

Высота конуса $H = \sqrt{2}$ м.
Отношение площадей оснований отсеченного усеченного конуса $S_{мал} : S_{бол} = 1 : 2$. (Здесь $S_{мал}$ - площадь верхнего основания усеченного конуса, которое является основанием малого конуса, а $S_{бол}$ - площадь нижнего основания усеченного конуса, которое является основанием исходного полного конуса.)

Перевод в систему СИ:
$H = \sqrt{2}$ м
Отношение площадей безразмерно.

Найти:
Расстояние от вершины конуса до плоскости $h$.

Решение:

Пусть $H$ - высота исходного полного конуса, $R$ - радиус его основания.

Пусть плоскость, параллельная основанию, проведена на расстоянии $h$ от вершины конуса. Эта плоскость отсекает от исходного конуса меньший конус с высотой $h$ и радиусом основания $r$. Таким образом, усеченный конус имеет высоты $H-h$, нижнее основание с радиусом $R$ и верхнее основание с радиусом $r$.

Площади оснований полного и малого конусов (которые являются основаниями усеченного конуса) равны $S_{бол} = \pi R^2$ и $S_{мал} = \pi r^2$ соответственно.

Дано, что отношение этих площадей равно 1:2:
$\frac{S_{мал}}{S_{бол}} = \frac{1}{2}$

Подставим формулы площадей:
$\frac{\pi r^2}{\pi R^2} = \frac{1}{2}$
$\frac{r^2}{R^2} = \frac{1}{2}$
$\left(\frac{r}{R}\right)^2 = \frac{1}{2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$\frac{r}{R} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Полный конус и отсеченный малый конус подобны. Из подобия следует, что отношение их высот равно отношению их радиусов:
$\frac{h}{H} = \frac{r}{R}$

Таким образом, мы можем записать:
$\frac{h}{H} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Выразим $h$:
$h = H \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

Подставим заданную высоту $H = \sqrt{2}$ м:
$h = \sqrt{2} \text{ м} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$
$h = 1$ м

Ответ: 1 м