Номер 367, страница 112 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

367. Образующая усеченного конуса равна $l$ и наклонена к плоскости его нижнего основания под углом $\varphi$. Найдите радиусы оснований усеченного конуса, если отношение площадей его оснований равно $\frac{1}{9}$.

Дано:

Образующая усеченного конуса: $l$

Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания: $\phi$

Отношение площадей оснований: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{9}$

Найти:

Радиусы оснований $R_1$ и $R_2$.

Решение:

Пусть $R_1$ — радиус меньшего основания, а $R_2$ — радиус большего основания. Площади оснований $S_1$ и $S_2$ соответственно равны $S_1 = \pi R_1^2$ и $S_2 = \pi R_2^2$.

Из условия дано отношение площадей:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{9}$

Подставим формулы площадей:

$\frac{\pi R_1^2}{\pi R_2^2} = \frac{1}{9}$

Сократим $\pi$:

$\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{1}{9}$

Возьмем квадратный корень из обеих частей. Поскольку радиусы являются положительными величинами:

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{3}$

Отсюда выразим $R_2$ через $R_1$:

$R_2 = 3R_1$

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию. Если опустить перпендикуляр из вершины меньшего основания на плоскость большего основания, то образуется прямоугольный треугольник. Гипотенузой этого треугольника является образующая $l$, а катетом, прилежащим к углу $\phi$, является разность радиусов $R_2 - R_1$.

Из определения косинуса в этом прямоугольном треугольнике имеем:

$\cos \phi = \frac{R_2 - R_1}{l}$

Выразим разность радиусов:

$R_2 - R_1 = l \cos \phi$

Теперь подставим ранее найденное соотношение $R_2 = 3R_1$ в это уравнение:

$3R_1 - R_1 = l \cos \phi$

$2R_1 = l \cos \phi$

Найдем $R_1$:

$R_1 = \frac{l \cos \phi}{2}$

Теперь найдем $R_2$, используя соотношение $R_2 = 3R_1$:

$R_2 = 3 \cdot \frac{l \cos \phi}{2}$

$R_2 = \frac{3l \cos \phi}{2}$

Ответ:

Радиус меньшего основания $R_1 = \frac{l \cos \phi}{2}$, радиус большего основания $R_2 = \frac{3l \cos \phi}{2}$.