Номер 373, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

373. Образующая усеченного конуса равна 10 см, высота – 8 см, а площадь боковой поверхности – $140\pi \text{ см}^2$. Найдите радиусы его оснований.

Дано:

Образующая усеченного конуса $L = 10 \text{ см}$

Высота усеченного конуса $H = 8 \text{ см}$

Площадь боковой поверхности $S_{\text{бок}} = 140\pi \text{ см}^2$

Перевод в СИ:

$L = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$H = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$S_{\text{бок}} = 140\pi \text{ см}^2 = 140\pi \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 140\pi \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

Радиусы оснований $R_1$ и $R_2$

Решение:

Обозначим радиусы оснований усеченного конуса как $R_1$ (больший радиус) и $R_2$ (меньший радиус). Для усеченного конуса существует соотношение между образующей $L$, высотой $H$ и разностью радиусов оснований $(R_1 - R_2)$, которое вытекает из теоремы Пифагора:

$L^2 = H^2 + (R_1 - R_2)^2$

Подставим известные значения в это уравнение:

$10^2 = 8^2 + (R_1 - R_2)^2$

$100 = 64 + (R_1 - R_2)^2$

Выразим $(R_1 - R_2)^2$:

$(R_1 - R_2)^2 = 100 - 64$

$(R_1 - R_2)^2 = 36$

Извлечем квадратный корень, учитывая, что радиус всегда положительный, и $R_1 > R_2$:

$R_1 - R_2 = \sqrt{36}$

$R_1 - R_2 = 6 \text{ см}$ (Уравнение 1)

Формула для площади боковой поверхности усеченного конуса $S_{\text{бок}}$:

$S_{\text{бок}} = \pi (R_1 + R_2) L$

Подставим известные значения $S_{\text{бок}}$ и $L$:

$140\pi = \pi (R_1 + R_2) \cdot 10$

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$140 = (R_1 + R_2) \cdot 10$

Разделим обе части уравнения на 10:

$R_1 + R_2 = 14 \text{ см}$ (Уравнение 2)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $R_1$ и $R_2$:

1) $R_1 - R_2 = 6$

2) $R_1 + R_2 = 14$

Сложим Уравнение 1 и Уравнение 2:

$(R_1 - R_2) + (R_1 + R_2) = 6 + 14$

$2R_1 = 20$

$R_1 = \frac{20}{2}$

$R_1 = 10 \text{ см}$

Подставим найденное значение $R_1 = 10 \text{ см}$ в Уравнение 2:

$10 + R_2 = 14$

$R_2 = 14 - 10$

$R_2 = 4 \text{ см}$

Ответ: Радиусы оснований усеченного конуса равны 10 см и 4 см.