Номер 372, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

372. Найдите площадь полной поверхности усеченного конуса, если площади его оснований равны $4\pi \text{ см}^2$ и $100\pi \text{ см}^2$, а площадь осевого сечения – $180 \text{ см}^2$.

Дано:

Площадь меньшего основания усеченного конуса $S_1 = 4\pi \text{ см}^2$.

Площадь большего основания усеченного конуса $S_2 = 100\pi \text{ см}^2$.

Площадь осевого сечения усеченного конуса $S_{\text{осн}} = 180 \text{ см}^2$.

Перевод в СИ:

$S_1 = 4\pi \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 4\pi \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

$S_2 = 100\pi \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 100\pi \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = \pi \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$.

$S_{\text{осн}} = 180 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 180 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 1.8 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$.

Найти:

Площадь полной поверхности усеченного конуса $S_{\text{полн}}$.

Решение:

Пусть $R_1$ и $R_2$ — радиусы меньшего и большего оснований усеченного конуса соответственно, $H$ — его высота, $L$ — образующая.

Площади оснований конуса связаны с их радиусами формулами: $S_1 = \pi R_1^2$ и $S_2 = \pi R_2^2$.

Из площади меньшего основания найдем $R_1$:

$\pi R_1^2 = 4\pi$

$R_1^2 = 4$

$R_1 = 2 \text{ см}$.

Из площади большего основания найдем $R_2$:

$\pi R_2^2 = 100\pi$

$R_2^2 = 100$

$R_2 = 10 \text{ см}$.

Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобочную трапецию, основания которой равны диаметрам оснований конуса ($2R_1$ и $2R_2$), а высота равна высоте конуса $H$. Площадь осевого сечения вычисляется по формуле:

$S_{\text{осн}} = \frac{(2R_1 + 2R_2)H}{2} = (R_1 + R_2)H$.

Подставим известные значения $R_1$, $R_2$ и $S_{\text{осн}}$:

$(2 + 10)H = 180$

$12H = 180$

$H = \frac{180}{12} = 15 \text{ см}$.

Для нахождения площади боковой поверхности нам нужна образующая $L$. Образующая является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота $H$ и разность радиусов $(R_2 - R_1)$. По теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + (R_2 - R_1)^2$

$L^2 = 15^2 + (10 - 2)^2$

$L^2 = 225 + 8^2$

$L^2 = 225 + 64$

$L^2 = 289$

$L = \sqrt{289} = 17 \text{ см}$.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса $S_{\text{бок}}$ вычисляется по формуле:

$S_{\text{бок}} = \pi (R_1 + R_2)L$.

Подставим значения $R_1$, $R_2$ и $L$:

$S_{\text{бок}} = \pi (2 + 10) \cdot 17$

$S_{\text{бок}} = \pi \cdot 12 \cdot 17$

$S_{\text{бок}} = 204\pi \text{ см}^2$.

Полная площадь поверхности усеченного конуса $S_{\text{полн}}$ равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности:

$S_{\text{полн}} = S_1 + S_2 + S_{\text{бок}}$

$S_{\text{полн}} = 4\pi + 100\pi + 204\pi$

$S_{\text{полн}} = (4 + 100 + 204)\pi$

$S_{\text{полн}} = 308\pi \text{ см}^2$.

Ответ: $308\pi \text{ см}^2$.