Номер 376, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

уровень В

376. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса, если диагонали его осевого сечения перпендикулярны, а образующая, равная 12 см, наклонена к плоскости нижнего основания под углом $60^\circ$.

Дано:

Образующая усеченного конуса $l = 12$ см.

Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания $\alpha = 60^\circ$.

Диагонали осевого сечения перпендикулярны.

Перевод в СИ:

$l = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:

Площадь боковой поверхности усеченного конуса $S_{бок}$.

Решение:

Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию ABCD. Пусть AB - верхнее основание (диаметр верхнего основания $2r$), CD - нижнее основание (диаметр нижнего основания $2R$). Боковые стороны AD и BC являются образующими конуса, $AD = BC = l$.

Опустим высоту AE из вершины A на нижнее основание CD. Пусть $h$ - высота усеченного конуса, то есть $h = AE$.

В прямоугольном треугольнике ADE:

$AE = AD \sin \alpha \Rightarrow h = l \sin \alpha$

$DE = AD \cos \alpha \Rightarrow DE = l \cos \alpha$

Так как трапеция ABCD равнобедренная, то $DE = \frac{CD - AB}{2} = \frac{2R - 2r}{2} = R - r$.

Следовательно, мы имеем уравнение: $R - r = l \cos \alpha$.

По условию, диагонали осевого сечения перпендикулярны. Для равнобедренной трапеции, если ее диагонали перпендикулярны, то высота трапеции равна полусумме ее оснований. В данном случае:

$h = \frac{AB + CD}{2} = \frac{2r + 2R}{2} = r + R$.

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений:

$1)\ R + r = h$

$2)\ R - r = l \cos \alpha$

Подставим $h = l \sin \alpha$ в первое уравнение:

$R + r = l \sin \alpha$

Теперь решим систему:

$R + r = l \sin \alpha$

$R - r = l \cos \alpha$

Сложим оба уравнения:

$(R + r) + (R - r) = l \sin \alpha + l \cos \alpha$

$2R = l (\sin \alpha + \cos \alpha)$

$R = \frac{l}{2} (\sin \alpha + \cos \alpha)$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(R + r) - (R - r) = l \sin \alpha - l \cos \alpha$

$2r = l (\sin \alpha - \cos \alpha)$

$r = \frac{l}{2} (\sin \alpha - \cos \alpha)$

Подставим известные значения $l = 12$ см и $\alpha = 60^\circ$:

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

Найдем $R$ и $r$:

$R = \frac{12}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \right) = 6 \left( \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \right) = 3(\sqrt{3} + 1)$ см

$r = \frac{12}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \right) = 6 \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \right) = 3(\sqrt{3} - 1)$ см

Для нахождения площади боковой поверхности усеченного конуса используем формулу:

$S_{бок} = \pi (R + r) l$

Найдем сумму радиусов $R + r$:

$R + r = 3(\sqrt{3} + 1) + 3(\sqrt{3} - 1) = 3\sqrt{3} + 3 + 3\sqrt{3} - 3 = 6\sqrt{3}$ см

(Это также равно $h = l \sin \alpha = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см, что подтверждает наши расчеты)

Теперь подставим значения в формулу для $S_{бок}$:

$S_{бок} = \pi (6\sqrt{3}) (12)$

$S_{бок} = 72\sqrt{3}\pi$ см$^2$

Ответ:

$72\sqrt{3}\pi \text{ см}^2$