Номер 349, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

15. Площадь поверхности конуса. III. Тела вращения и их элементы - номер 349, страница 108.

Условие.

349. Коническая жестяная воронка должна иметь диаметр основания 10 см и высоту 12 см. Найдите размеры ее заготовки (радиус и угол сектора развертки боковой поверхности конуса).

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано:

Диаметр основания конуса $D = 10 \text{ см}$

Высота конуса $H = 12 \text{ см}$

Перевод в СИ:

Диаметр основания конуса $D = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Высота конуса $H = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Радиус заготовки (образующую конуса) $L$

Угол сектора развертки $\alpha$

Решение:

Для определения размеров заготовки конической воронки, которая представляет собой сектор круга, необходимо найти ее радиус и угол.

1. Сначала найдем радиус основания конуса $r$.

$r = \frac{D}{2}$

$r = \frac{10 \text{ см}}{2}$

$r = 5 \text{ см}$

2. Радиус заготовки соответствует образующей конуса $L$. Образующая конуса, высота конуса $H$ и радиус основания $r$ образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой. Воспользуемся теоремой Пифагора:

$L^2 = r^2 + H^2$

$L = \sqrt{r^2 + H^2}$

$L = \sqrt{(5 \text{ см})^2 + (12 \text{ см})^2}$

$L = \sqrt{25 \text{ см}^2 + 144 \text{ см}^2}$

$L = \sqrt{169 \text{ см}^2}$

$L = 13 \text{ см}$

Таким образом, радиус заготовки составляет $13 \text{ см}$.

3. Далее найдем угол сектора развертки $\alpha$. Длина дуги сектора развертки боковой поверхности конуса равна длине окружности основания конуса. Радиус этого сектора равен образующей конуса $L$.

Длина окружности основания конуса $C_{осн} = 2 \pi r$.

Длина окружности полного круга с радиусом $L$ (радиусом сектора) $C_{полн} = 2 \pi L$.

Отношение угла сектора к $360^\circ$ равно отношению длины дуги сектора к длине полной окружности с радиусом $L$:

$\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{C_{осн}}{C_{полн}}$

$\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{2 \pi r}{2 \pi L}$

$\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{r}{L}$

Выразим угол $\alpha$:

$\alpha = 360^\circ \cdot \frac{r}{L}$

Подставим значения $r = 5 \text{ см}$ и $L = 13 \text{ см}$:

$\alpha = 360^\circ \cdot \frac{5 \text{ см}}{13 \text{ см}}$

$\alpha = 360^\circ \cdot \frac{5}{13}$

$\alpha = \frac{1800}{13} \text{ градусов}$

$\alpha \approx 138.46^\circ$

Ответ:

Радиус заготовки (образующая конуса) составляет $13 \text{ см}$, угол сектора развертки составляет $\frac{1800}{13} \text{ градусов}$ (приблизительно $138.46^\circ$).