Номер 350, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

350. Найдите площадь осевого сечения конуса, если его высота равна 6 дм, а площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания.

Дано:

Высота конуса $h = 6$ дм.

Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок}$ вдвое больше площади основания $S_{осн}$: $S_{бок} = 2 S_{осн}$.

Перевод в СИ:

$h = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$.

Найти:

Площадь осевого сечения конуса $S_{сеч}$.

Решение:

1. Запишем формулы для площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$ конуса:

$S_{осн} = \pi r^2$, где $r$ - радиус основания конуса.

$S_{бок} = \pi r l$, где $l$ - образующая конуса.

2. По условию задачи, площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания: $S_{бок} = 2 S_{осн}$.

Подставим формулы площадей в это равенство:

$\pi r l = 2 \pi r^2$

3. Разделим обе части уравнения на $\pi r$ (так как $r \neq 0$):

$l = 2r$

Это соотношение между образующей и радиусом основания конуса.

4. Используем теорему Пифагора для связи высоты $h$, радиуса $r$ и образующей $l$ в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей конуса:

$l^2 = r^2 + h^2$

5. Подставим выражение для $l$ из шага 3 ($l = 2r$) в уравнение теоремы Пифагора:

$(2r)^2 = r^2 + h^2$

$4r^2 = r^2 + h^2$

6. Выразим $r^2$ через $h^2$:

$3r^2 = h^2$

$r^2 = \frac{h^2}{3}$

7. Найдем радиус $r$, подставив значение высоты $h = 6$ дм:

$r = \sqrt{\frac{h^2}{3}} = \frac{h}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$r = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ дм.

8. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса ($2r$), а высотой - высота конуса ($h$).

Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot h = rh$

9. Подставим найденное значение радиуса $r$ и данную высоту $h$ в формулу площади осевого сечения:

$S_{сеч} = (2\sqrt{3} \text{ дм}) \cdot (6 \text{ дм})$

$S_{сеч} = 12\sqrt{3}$ дм$^2$.

Ответ:

$12\sqrt{3}$ дм$^2$.