Страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Дайте определение: а) сферы; б) шара.

2. Что является сечением: а) сферы плоскостью; б) шара плоскостью?

3. Какая плоскость называется плоскостью, касательной к сфере?

4. Какие свойства плоскости, касательной к сфере, вы знаете?

5. Пусть $R$ – радиус сферы, $d$ – расстояние от ее центра до плоскости. Объясните, почему плоскость: а) пересекает сферу, если $d < R$; б) касается ее, если $d = R$; в) не имеет с ней общих точек, если $d > R$.

а) Сфера — это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, называемой центром. Это заданное расстояние называется радиусом сферы.

Ответ: Сфера — это геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от центра.

б) Шар — это пространственное тело, ограниченное сферой. Он включает в себя все точки пространства, расстояние которых от центра не превышает радиус.

Ответ: Шар — это тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не большем заданного от центра.

а) Сечением сферы плоскостью является окружность. Если плоскость проходит через центр сферы, то такая окружность называется большой окружностью. Если плоскость имеет со сферой только одну общую точку, то сечением является точка (окружность с радиусом, равным нулю).

Ответ: Окружность или точка.

б) Сечением шара плоскостью является круг. Если плоскость проходит через центр шара, то такой круг называется большим кругом. Если плоскость имеет с шаром только одну общую точку, то сечением является точка.

Ответ: Круг или точка.

Плоскость, которая имеет со сферой ровно одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере. Эта общая точка называется точкой касания.

Ответ: Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку.

Существует несколько ключевых свойств плоскости, касательной к сфере:
1. Радиус сферы, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.
2. Следствие из первого свойства: расстояние от центра сферы до касательной плоскости равно радиусу сферы.
3. Обратная теорема: если плоскость проходит через точку на сфере и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то она касается сферы.

Ответ: Основное свойство — радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.

Пусть $O$ — центр сферы, $R$ — ее радиус, а $\alpha$ — плоскость. Расстояние $d$ от центра $O$ до плоскости $\alpha$ — это длина перпендикуляра $OH$, опущенного из точки $O$ на плоскость $\alpha$. Для любой точки $M$ на плоскости $\alpha$ расстояние $OM$ от центра сферы до этой точки является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $OHM$. По теореме Пифагора, $OM^2 = OH^2 + HM^2$, или $OM^2 = d^2 + HM^2$. Точка $M$ лежит на сфере, если $OM = R$.

а) если $d < R$, то $d^2 < R^2$. Условие нахождения точки $M$ на сфере, $R^2 = d^2 + HM^2$, можно переписать как $HM^2 = R^2 - d^2$. Поскольку правая часть положительна, уравнение имеет решение $HM = \sqrt{R^2 - d^2}$. Это означает, что на плоскости $\alpha$ существуют точки, удаленные от точки $H$ на расстояние $\sqrt{R^2 - d^2}$. Множество таких точек образует окружность, которая и является линией пересечения плоскости и сферы.

Ответ: Если $d < R$, то на плоскости существует окружность, все точки которой находятся на расстоянии $R$ от центра сферы, следовательно, плоскость пересекает сферу.

б) если $d = R$, то $d^2 = R^2$. Уравнение $R^2 = d^2 + HM^2$ принимает вид $R^2 = R^2 + HM^2$, что влечет за собой $HM^2 = 0$, и, следовательно, $HM = 0$. Это означает, что точка $M$ совпадает с точкой $H$. Таким образом, плоскость и сфера имеют только одну общую точку $H$. По определению, такая плоскость является касательной к сфере.

Ответ: Если $d = R$, то единственная точка плоскости (основание перпендикуляра из центра) находится на расстоянии $R$ от центра, что означает касание.

в) если $d > R$, то $d^2 > R^2$. Для любой точки $M$ на плоскости имеем $OM^2 = d^2 + HM^2$. Так как $d^2 > R^2$ и $HM^2 \ge 0$, то $OM^2 > R^2$, откуда $OM > R$. Это означает, что расстояние от центра сферы до любой точки плоскости строго больше радиуса. Следовательно, ни одна точка плоскости не может принадлежать сфере, и у них нет общих точек.

Ответ: Если $d > R$, расстояние от любой точки плоскости до центра сферы всегда будет больше $R$, поэтому общих точек у плоскости и сферы нет.

383. Плоскость проходит через центр сферы и пересекает ее по окружности, длина которой 31,4 см. Найдите диаметр сферы с точностью до 1 см.

Дано

Длина окружности, образованной пересечением плоскости и сферы: $C = 31.4$ см.

Плоскость проходит через центр сферы, следовательно, радиус окружности пересечения равен радиусу сферы.

Найти

Диаметр сферы: $D_{сферы}$.

Решение

Если плоскость проходит через центр сферы, то в сечении образуется большая окружность, радиус которой равен радиусу сферы ($r_{окружности} = R_{сферы}$).

Длина окружности вычисляется по формуле: $C = 2 \pi r$, где $r$ – радиус окружности.

Подставим известное значение длины окружности: $31.4 = 2 \pi r$

Выразим радиус окружности $r$: $r = \frac{31.4}{2 \pi}$

Примем значение $\pi \approx 3.14$: $r = \frac{31.4}{2 \times 3.14} = \frac{31.4}{6.28}$

Вычислим радиус: $r = 5$ см

Так как радиус окружности сечения равен радиусу сферы ($R_{сферы} = r$), то радиус сферы равен $5$ см.

Диаметр сферы $D_{сферы}$ равен удвоенному радиусу: $D_{сферы} = 2 R_{сферы}$

Подставим значение радиуса сферы: $D_{сферы} = 2 \times 5 = 10$ см

Задача требует найти диаметр сферы с точностью до 1 см. Полученное значение $10$ см является целым числом, что соответствует требуемой точности.

Ответ:

Диаметр сферы: $10$ см.

384. а) Площадь сечения шара плоскостью равна $36\pi \text{ см}^2$. Найдите расстояние от секущей плоскости до центра шара, если радиус шара равен $10\text{ см}$.

б) Площадь сечения шара плоскостью в 4 раза меньше площади его большого круга. Найдите расстояние от центра шара до плоскости сечения, если радиус сечения равен $2\text{ см}$.

а) Площадь сечения шара плоскостью равна 36π см². Найдите расстояние от секущей плоскости до центра шара, если радиус шара равен 10 см.

Дано:

$S_{сеч} = 36\pi \text{ см}^2$

$R = 10 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$S_{сеч} = 36\pi \cdot (10^{-2})^2 \text{ м}^2 = 36\pi \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

$R = 10 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

$h$

Решение:

Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ – радиус круга. В данном случае $r$ – это радиус сечения, обозначим его $r_{сеч}$.

1. Найдем радиус сечения $r_{сеч}$ из известной площади сечения:

$S_{сеч} = \pi r_{сеч}^2$

$36\pi = \pi r_{сеч}^2$

$r_{сеч}^2 = \frac{36\pi}{\pi}$

$r_{сеч}^2 = 36$

$r_{сеч} = \sqrt{36}$

$r_{сеч} = 6 \text{ см}$

2. Расстояние $h$ от центра шара до секущей плоскости, радиус сечения $r_{сеч}$ и радиус шара $R$ образуют прямоугольный треугольник, где радиус шара $R$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$R^2 = r_{сеч}^2 + h^2$

Выразим $h^2$:

$h^2 = R^2 - r_{сеч}^2$

Подставим известные значения $R = 10 \text{ см}$ и $r_{сеч} = 6 \text{ см}$:

$h^2 = 10^2 - 6^2$

$h^2 = 100 - 36$

$h^2 = 64$

$h = \sqrt{64}$

$h = 8 \text{ см}$

Ответ: $8 \text{ см}$

б) Площадь сечения шара плоскостью в 4 раза меньше площади его большого круга. Найдите расстояние от центра шара до плоскости сечения, если радиус сечения равен 2 см.

Дано:

$S_{сеч} = \frac{1}{4} S_{б.к.}$

$r_{сеч} = 2 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$r_{сеч} = 2 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

$h$

Решение:

1. Найдем площадь сечения $S_{сеч}$. Сечение шара представляет собой круг, и его площадь вычисляется по формуле $S = \pi r^2$:

$S_{сеч} = \pi r_{сеч}^2$

$S_{сеч} = \pi (2)^2$

$S_{сеч} = 4\pi \text{ см}^2$

2. Большой круг шара – это сечение, проходящее через центр шара, его радиус равен радиусу шара $R$. Площадь большого круга $S_{б.к.} = \pi R^2$.

По условию, площадь сечения в 4 раза меньше площади большого круга:

$S_{сеч} = \frac{1}{4} S_{б.к.}$

Подставим известные значения:

$4\pi = \frac{1}{4} S_{б.к.}$

Отсюда найдем площадь большого круга:

$S_{б.к.} = 4 \cdot 4\pi$

$S_{б.к.} = 16\pi \text{ см}^2$

3. Используя площадь большого круга, найдем радиус шара $R$:

$S_{б.к.} = \pi R^2$

$16\pi = \pi R^2$

$R^2 = \frac{16\pi}{\pi}$

$R^2 = 16$

$R = \sqrt{16}$

$R = 4 \text{ см}$

4. Расстояние $h$ от центра шара до секущей плоскости, радиус сечения $r_{сеч}$ и радиус шара $R$ образуют прямоугольный треугольник, где радиус шара $R$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$R^2 = r_{сеч}^2 + h^2$

Выразим $h^2$:

$h^2 = R^2 - r_{сеч}^2$

Подставим найденные значения $R = 4 \text{ см}$ и $r_{сеч} = 2 \text{ см}$:

$h^2 = 4^2 - 2^2$

$h^2 = 16 - 4$

$h^2 = 12$

$h = \sqrt{12}$

$h = \sqrt{4 \cdot 3}$

$h = 2\sqrt{3} \text{ см}$

Ответ: $2\sqrt{3} \text{ см}$