Страница 103 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

327. Через точку основания конуса и середину его высоты проведите прямую и отметьте точку пересечения этой прямой с боковой поверхностью конуса.

Дано: конус с вершиной $S$ и основанием, центром $O$, высота $SO$. Задана точка $A$ на основании конуса (для определенности, на окружности основания) и точка $M$, являющаяся серединой высоты $SO$.

Найти: Прямую, проходящую через точки $A$ и $M$, и точку пересечения этой прямой с боковой поверхностью конуса.

Решение:

Проведите прямую

Для начала представим себе конус в трехмерном пространстве. Пусть его вершина находится в точке $S$, а центр основания - в точке $O$. Высота конуса - это отрезок $SO$. На основании конуса выбрана произвольная точка $A$. Точка $M$ находится на середине высоты $SO$, то есть $SM = MO$. Проводим прямую через эти две заданные точки: $A$ и $M$. Эта прямая будет проходить из точки $A$ (на поверхности конуса, на его основании) внутрь конуса, так как точка $M$ (середина высоты) находится внутри конуса (кроме вырожденных случаев, когда $M$ лежит на образующей, что не характерно).

Ответ: Прямая $AM$ проведена через точку $A$ на основании конуса и середину его высоты $M$.

Отметьте точку пересечения этой прямой с боковой поверхностью конуса

Для того чтобы найти точку пересечения прямой $AM$ с боковой поверхностью конуса, удобно рассмотреть плоское сечение, содержащее эту прямую. Наиболее подходящим сечением будет осевое сечение конуса, проходящее через заданную точку $A$ и ось конуса $SO$. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник $SAS'$, где $S'$ - точка на окружности основания, диаметрально противоположная точке $A$ относительно центра $O$. Ось конуса $SO$ является медианой этого треугольника.

Прямая $AM$ лежит в плоскости этого осевого сечения, так как точки $A$, $M$ и $S$ (вершина конуса) компланарны (лежат в одной плоскости). В этом плоском сечении боковая поверхность конуса представлена двумя образующими (наклонными высотами) $SA$ и $SS'$.

Точка $A$ является одной из точек пересечения прямой $AM$ с поверхностью конуса (а именно, с его основанием). Поскольку прямая $AM$ проходит через внутреннюю область конуса (из $A$ в $M$), она должна выйти из конуса, пересекая его боковую поверхность в другой точке. Эта вторая точка пересечения, назовем ее $K$, будет лежать на одной из образующих в рассматриваемом осевом сечении.

Рассмотрим треугольник $SAS'$ (осевое сечение). $SO$ - высота. $M$ - середина $SO$. Точка $A$ - одна из вершин основания. Прямая $AM$ пересекает другую образующую $SS'$ в точке $K$.

Для нахождения точного положения точки $K$, мы можем использовать метод координат. Пусть центр основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Тогда вершина $S$ находится в $(0,0,H)$, где $H$ - высота конуса. Пусть точка $A$ на окружности основания находится в $(R,0,0)$, где $R$ - радиус основания. Середина высоты $M$ будет в $(0,0,H/2)$.

Уравнение прямой $AM$ в параметрической форме: $P(t) = A + t(M-A) = (R,0,0) + t(-R, 0, H/2) = (R(1-t), 0, tH/2)$.

Уравнение боковой поверхности конуса с вершиной $(0,0,H)$ и основанием в плоскости $z=0$: $x^2 + y^2 = (\frac{R}{H})^2 (H-z)^2$.

Подставим координаты прямой в уравнение конуса:
$ (R(1-t))^2 + 0^2 = (\frac{R}{H})^2 (H - \frac{tH}{2})^2 $
$ R^2(1-t)^2 = \frac{R^2}{H^2} H^2 (1 - \frac{t}{2})^2 $
$ R^2(1-t)^2 = R^2 (1 - \frac{t}{2})^2 $

Делим на $R^2$ (при $R \neq 0$):
$ (1-t)^2 = (1 - \frac{t}{2})^2 $

Это уравнение имеет два решения:
1) $1-t = 1 - \frac{t}{2} \implies -\frac{t}{2} = 0 \implies t=0$. Это соответствует точке $A(R,0,0)$, которая является исходной точкой на основании.
2) $1-t = -(1 - \frac{t}{2}) \implies 1-t = -1 + \frac{t}{2} \implies 2 = t + \frac{t}{2} \implies 2 = \frac{3t}{2} \implies t = \frac{4}{3}$.

Это второе значение параметра $t$ соответствует искомой точке $K$. Подставим $t = \frac{4}{3}$ в уравнение прямой:
$ K = (R(1 - \frac{4}{3}), 0, \frac{4}{3} \cdot \frac{H}{2}) $
$ K = (-\frac{R}{3}, 0, \frac{2H}{3}) $

Эта точка $K$ находится на высоте $\frac{2}{3}H$ от основания конуса. Ее $x$-координата $-\frac{R}{3}$ указывает, что она находится на образующей, лежащей в той же осевой плоскости, что и $A$, но по другую сторону от оси $y$ (если $A$ была на положительной оси $x$). Эта образующая соединяет вершину $S$ с точкой $S'$ на основании, которая диаметрально противоположна $A$.

Таким образом, точка пересечения $K$ расположена на образующей $SS'$, на расстоянии $\frac{1}{3}$ радиуса от оси конуса и на высоте $\frac{2}{3}$ от основания.

Ответ: Точка пересечения находится на боковой поверхности конуса, а именно на образующей, лежащей в той же осевой плоскости, что и исходная точка на основании, но на противоположной стороне относительно оси конуса. Эта точка расположена на высоте $\frac{2}{3}$ от основания конуса.

328. В конусе с радиусом основания 12 см проведены два сечения, параллельные основанию и делящие высоту конуса на три равные части. Найдите площади этих сечений.

Дано:

Радиус основания конуса $R = 12 \text{ см}$.

Два сечения параллельны основанию и делят высоту конуса на три равные части.

Перевод в СИ:

$R = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$. Для удобства вычислений площади будут даны в $\text{см}^2$, так как исходные данные и требуемый формат ответа подразумевают использование сантиметров.

Найти:

$S_1$ - площадь первого сечения (ближе к вершине конуса).

$S_2$ - площадь второго сечения.

Решение:

Пусть $H$ - полная высота конуса. Сечения, параллельные основанию конуса, являются кругами. Из свойств подобных фигур, отношение радиуса такого сечения к радиусу основания конуса равно отношению расстояния от вершины конуса до сечения к полной высоте конуса. Это свойство вытекает из подобия треугольников, образующихся при рассмотрении осевого сечения конуса.

Согласно условию, высота конуса делится на три равные части. Это означает, что первое сечение (то, что ближе к вершине) находится на расстоянии $h_1 = \frac{H}{3}$ от вершины конуса. Второе сечение находится на расстоянии $h_2 = \frac{2H}{3}$ от вершины конуса.

Для первого сечения, обозначим его радиус как $r_1$. Из подобия конусов имеем:

$\frac{r_1}{R} = \frac{h_1}{H} = \frac{\frac{H}{3}}{H} = \frac{1}{3}$

Отсюда находим радиус $r_1$:

$r_1 = \frac{R}{3}$

Подставим данное значение радиуса основания $R = 12 \text{ см}$:

$r_1 = \frac{12 \text{ см}}{3} = 4 \text{ см}$

Площадь первого сечения $S_1$ вычисляется по формуле площади круга $S = \pi r^2$:

$S_1 = \pi r_1^2 = \pi (4 \text{ см})^2 = 16\pi \text{ см}^2$

Для второго сечения, обозначим его радиус как $r_2$. Из подобия конусов имеем:

$\frac{r_2}{R} = \frac{h_2}{H} = \frac{\frac{2H}{3}}{H} = \frac{2}{3}$

Отсюда находим радиус $r_2$:

$r_2 = \frac{2R}{3}$

Подставим данное значение радиуса основания $R = 12 \text{ см}$:

$r_2 = \frac{2 \cdot 12 \text{ см}}{3} = 8 \text{ см}$

Площадь второго сечения $S_2$ вычисляется по формуле площади круга $S = \pi r^2$:

$S_2 = \pi r_2^2 = \pi (8 \text{ см})^2 = 64\pi \text{ см}^2$

Ответ:

Площадь первого сечения (ближе к вершине) $16\pi \text{ см}^2$.

Площадь второго сечения $64\pi \text{ см}^2$.

329. Найдите высоту конуса и его образующую, если осевое сечение конуса:

a) прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 12 см;

б) треугольник, площадь которого равна $16\sqrt{3}$ см$^2$, а один из углов равен $120^\circ$.

а) прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 12 см

Дано

Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник.

Гипотенуза осевого сечения $c = 12$ см.

Перевод в СИ

$c = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти

$h, l$

Решение

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса ($l$), а основание — диаметром основания конуса ($2r$).

Если осевое сечение является прямоугольным треугольником, то, поскольку оно также является равнобедренным, это равнобедренный прямоугольный треугольник. Его катеты равны образующим ($l$), а гипотенуза равна диаметру основания ($2r$).

По условию, гипотенуза осевого сечения равна 12 см. Следовательно, диаметр основания конуса $2r = 12$ см, откуда радиус основания $r = \frac{12}{2} = 6$ см.

По теореме Пифагора для осевого сечения: $l^2 + l^2 = (2r)^2$.

$2l^2 = (12 \text{ см})^2$

$2l^2 = 144$

$l^2 = \frac{144}{2}$

$l^2 = 72$

$l = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем высоту конуса $h$. Высота конуса $h$, радиус основания $r$, и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:

$l^2 = r^2 + h^2$

$(6\sqrt{2})^2 = 6^2 + h^2$

$72 = 36 + h^2$

$h^2 = 72 - 36$

$h^2 = 36$

$h = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: Высота конуса $h = 6$ см, образующая конуса $l = 6\sqrt{2}$ см.

б) треугольник, площадь которого равна $16\sqrt{3}$ см$^2$, а один из углов равен 120°

Дано

Площадь осевого сечения $S = 16\sqrt{3}$ см$^2$.

Один из углов осевого сечения равен $120^\circ$.

Перевод в СИ

$S = 16\sqrt{3} \text{ см}^2 = 16\sqrt{3} \cdot (10^{-2})^2 \text{ м}^2 = 16\sqrt{3} \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти

$h, l$

Решение

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник. Его боковые стороны равны образующим конуса ($l$). У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Если один из углов равен $120^\circ$, то это должен быть угол при вершине (угол между образующими), так как если бы это был угол при основании, то сумма двух углов при основании уже превысила бы $180^\circ$ ($120^\circ + 120^\circ = 240^\circ$), что невозможно для треугольника.

Пусть угол при вершине осевого сечения (угол между образующими) $\theta = 120^\circ$.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin C$. В нашем случае, $a=b=l$, $C=\theta$:

$S = \frac{1}{2}l \cdot l \sin\theta$

$S = \frac{1}{2}l^2 \sin(120^\circ)$

Мы знаем, что $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значения в формулу площади:

$16\sqrt{3} = \frac{1}{2}l^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$16\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4}l^2$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$16 = \frac{1}{4}l^2$

$l^2 = 16 \cdot 4$

$l^2 = 64$

$l = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдем высоту конуса $h$. Высота $h$ делит осевое сечение на два прямоугольных треугольника. В одном из таких треугольников гипотенузой является образующая $l$, одним катетом — радиус основания $r$, а другим катетом — высота $h$. Угол, противолежащий радиусу $r$, равен половине угла при вершине осевого сечения, т.е. $\frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Используем тригонометрические соотношения в этом прямоугольном треугольнике:

$\cos(60^\circ) = \frac{h}{l}$

$h = l \cos(60^\circ)$

$h = 8 \cdot \frac{1}{2}$

$h = 4$ см.

Для полноты можно найти и радиус $r$:

$\sin(60^\circ) = \frac{r}{l}$

$r = l \sin(60^\circ)$

$r = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$r = 4\sqrt{3}$ см.

Проверим по теореме Пифагора: $l^2 = r^2 + h^2 \Rightarrow 8^2 = (4\sqrt{3})^2 + 4^2 \Rightarrow 64 = 16 \cdot 3 + 16 \Rightarrow 64 = 48 + 16 \Rightarrow 64 = 64$. Расчеты верны.

Ответ: Высота конуса $h = 4$ см, образующая конуса $l = 8$ см.

330. Через вершину конуса проведены две плоскости, образующие равные углы с плоскостью основания. Верно ли, что сечения конуса этими плоскостями равны? Ответ объясните.

Рассмотрим правый круговой конус. Пусть его вершина — $S$, центр основания — $O$, высота — $H = SO$, а радиус основания — $R$. Длина любой образующей конуса $L = \sqrt{R^2 + H^2}$ одинакова.

Плоскость, проходящая через вершину конуса, пересекает его по треугольнику. Основанием этого треугольника является хорда основания конуса. Пусть одна такая плоскость пересекает основание по хорде $A_1B_1$, а другая — по хорде $A_2B_2$. Соответствующие сечения представляют собой треугольники $\triangle SA_1B_1$ и $\triangle SA_2B_2$.

Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. Пусть $M_1$ — середина хорды $A_1B_1$, а $M_2$ — середина хорды $A_2B_2$. Так как $O$ — центр основания, $OM_1 \perp A_1B_1$ и $OM_2 \perp A_2B_2$. По теореме о трех перпендикулярах, $SM_1 \perp A_1B_1$ и $SM_2 \perp A_2B_2$. Таким образом, углы между плоскостями сечений и плоскостью основания равны $\angle SM_1O$ и $\angle SM_2O$ соответственно. Обозначим этот угол $\alpha$.

В прямоугольных треугольниках $\triangle SOM_1$ и $\triangle SOM_2$ (где $SO$ — высота конуса, перпендикулярная плоскости основания):
$\tan \alpha = \frac{SO}{OM_1} = \frac{H}{OM_1}$
$\tan \alpha = \frac{SO}{OM_2} = \frac{H}{OM_2}$

Поскольку высота конуса $H$ одинакова для обоих сечений, и углы $\alpha$ также равны по условию, то:
$OM_1 = \frac{H}{\tan \alpha}$
$OM_2 = \frac{H}{\tan \alpha}$
Следовательно, $OM_1 = OM_2$. Это означает, что хорды $A_1B_1$ и $A_2B_2$ равноудалены от центра основания $O$. В круге хорды, равноудаленные от центра, имеют одинаковую длину. Таким образом, $A_1B_1 = A_2B_2$.

Теперь сравним треугольники-сечения $\triangle SA_1B_1$ и $\triangle SA_2B_2$:
Стороны $SA_1$, $SB_1$, $SA_2$, $SB_2$ являются образующими правого кругового конуса, поэтому $SA_1 = SB_1 = SA_2 = SB_2 = L$.
Как было доказано выше, $A_1B_1 = A_2B_2$.
По признаку равенства треугольников по трем сторонам (SSS), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. В данном случае $\triangle SA_1B_1 \cong \triangle SA_2B_2$.

Следовательно, сечения конуса этими плоскостями равны.

Ответ: Да, верно.

331. a) Длины двух сторон осевого сечения конуса равны 4 см и 8 см. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и отсекающей дугу основания в $60^\circ$.

б) Один из углов осевого сечения конуса равен $90^\circ$. Хорда основания конуса, равная $4\sqrt{3}$ см, стягивает дугу в $120^\circ$. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и данную хорду основания.

a)

Дано:

Длины двух сторон осевого сечения конуса: $L_1 = 4$ см, $L_2 = 8$ см.

Угол дуги основания, отсекаемой плоскостью: $\alpha = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

$L_1 = 4 \cdot 10^{-2}$ м

$L_2 = 8 \cdot 10^{-2}$ м

$\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ рад

Найти:

Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и отсекающей дугу основания в $60^\circ$, $S_{сеч}$.

Решение:

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, две равные стороны которого являются образующими конуса ($L$), а третья сторона - диаметром основания ($2R$). Таким образом, заданные длины 4 см и 8 см относятся к образующей и диаметру основания.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Если образующая $L = 4$ см, а диаметр основания $2R = 8$ см, то радиус основания $R = 4$ см. В этом случае $L = R$. Высота конуса $H$ определяется по теореме Пифагора как $H = \sqrt{L^2 - R^2}$. Если $L = R$, то $H = \sqrt{R^2 - R^2} = 0$. Это означает, что конус вырождается в плоский круг, что не является объемным геометрическим телом. Этот случай не подходит.

2. Если образующая $L = 8$ см, а диаметр основания $2R = 4$ см, то радиус основания $R = 2$ см. В этом случае $L = 8$ см и $R = 2$ см. Высота конуса $H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{8^2 - 2^2} = \sqrt{64 - 4} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$ см. Этот случай соответствует обычному конусу.

Таким образом, мы имеем конус с образующей $L = 8$ см и радиусом основания $R = 2$ см.

Плоскость сечения проходит через вершину конуса (обозначим ее $S$) и отсекает дугу основания в $60^\circ$. Это означает, что хорда $AB$ в основании стягивает центральный угол $\angle AOB = 60^\circ$, где $O$ - центр основания. Поскольку $OA = OB = R$ (радиусы), треугольник $AOB$ является равнобедренным. Если один из углов при вершине равнобедренного треугольника равен $60^\circ$, то этот треугольник является равносторонним. Следовательно, длина хорды $AB$ равна радиусу основания: $AB = R = 2$ см.

Сечение конуса данной плоскостью представляет собой треугольник $SAB$. Этот треугольник равнобедренный, так как $SA = SB = L = 8$ см. Основание этого треугольника $AB = 2$ см.

Для нахождения площади треугольника $SAB$ нам нужна его высота, опущенная из вершины $S$ на основание $AB$. Пусть $M$ - середина хорды $AB$. Тогда $SM$ - высота. В прямоугольном треугольнике $SAM$ (где $SA$ - гипотенуза, $AM$ и $SM$ - катеты):

$AM = \frac{AB}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

По теореме Пифагора:

$SM^2 = SA^2 - AM^2$

$SM^2 = 8^2 - 1^2$

$SM^2 = 64 - 1 = 63$

$SM = \sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$ см.

Площадь сечения $S_{сеч}$ (треугольника $SAB$) вычисляется по формуле:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM$

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3\sqrt{7}$

$S_{сеч} = 3\sqrt{7}$ см$^2$.

Ответ: $3\sqrt{7}$ см$^2$.

б)

Дано:

Один из углов осевого сечения конуса: $\beta = 90^\circ$.

Длина хорды основания: $l = 4\sqrt{3}$ см.

Угол дуги, стягиваемой хордой: $\gamma = 120^\circ$.

Перевод в СИ:

$l = 4\sqrt{3} \cdot 10^{-2}$ м

$\gamma = 120^\circ = \frac{2\pi}{3}$ рад

Найти:

Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и данную хорду основания, $S_{сеч}$.

Решение:

Осевое сечение конуса является равнобедренным треугольником, где две стороны - это образующие $L$, а основание - диаметр $2R$. Углы при основании равнобедренного треугольника всегда острые. Следовательно, единственный угол, который может быть равен $90^\circ$, это угол при вершине осевого сечения. В таком случае, этот треугольник является прямоугольным и равнобедренным. По теореме Пифагора для такого треугольника: $L^2 + L^2 = (2R)^2$, что дает $2L^2 = 4R^2$, или $L^2 = 2R^2$. Отсюда, образующая $L = R\sqrt{2}$. Высота конуса $H$ в этом случае равна радиусу $R$, так как $H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{(R\sqrt{2})^2 - R^2} = \sqrt{2R^2 - R^2} = \sqrt{R^2} = R$.Таким образом, для данного конуса $L = R\sqrt{2}$ и $H = R$.

Далее, дана хорда основания $AB = 4\sqrt{3}$ см, которая стягивает дугу в $120^\circ$. Это означает, что центральный угол $\angle AOB = 120^\circ$, где $O$ - центр основания. Треугольник $AOB$ является равнобедренным с $OA = OB = R$. Применим теорему косинусов к треугольнику $AOB$:

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$

$(4\sqrt{3})^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 \cos(120^\circ)$

$16 \cdot 3 = 2R^2 - 2R^2 \left(-\frac{1}{2}\right)$

$48 = 2R^2 + R^2$

$48 = 3R^2$

$R^2 = 16$

$R = 4$ см.

Теперь мы можем найти образующую $L$:

$L = R\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину $S$ и данную хорду $AB$, является треугольником $SAB$. Этот треугольник равнобедренный, так как $SA = SB = L = 4\sqrt{2}$ см, а его основание $AB = 4\sqrt{3}$ см.

Для нахождения площади треугольника $SAB$ нам нужна его высота, опущенная из $S$ на $AB$. Пусть $M$ - середина хорды $AB$. Тогда $SM$ - высота. В прямоугольном треугольнике $SAM$:

$AM = \frac{AB}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

По теореме Пифагора:

$SM^2 = SA^2 - AM^2$

$SM^2 = (4\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2$

$SM^2 = (16 \cdot 2) - (4 \cdot 3)$

$SM^2 = 32 - 12$

$SM^2 = 20$

$SM = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ см.

Площадь сечения $S_{сеч}$ (треугольника $SAB$) вычисляется по формуле:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM$

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{5}$

$S_{сеч} = 4\sqrt{15}$ см$^2$.

Ответ: $4\sqrt{15}$ см$^2$.

332. Площади осевого сечения конуса и сечения, проведенного через середину его высоты параллельно основанию, равны соответственно $48 \text{ см}^2$ и $9\pi \text{ см}^2$. Найдите угол между образующей и плоскостью основания конуса.

Дано

Площадь осевого сечения конуса $S_{осн} = 48 \text{ см}^2$.

Площадь сечения, проведенного через середину высоты параллельно основанию, $S_{сеч} = 9\pi \text{ см}^2$.

Перевод в СИ:

$S_{осн} = 48 \text{ см}^2 = 48 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 4.8 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$.

$S_{сеч} = 9\pi \text{ см}^2 = 9\pi \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 9\pi \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

Найти:

Угол $\alpha$ между образующей и плоскостью основания конуса.

Решение

Обозначим радиус основания конуса за $R$, а высоту конуса за $H$.

1. Площадь осевого сечения конуса:

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник с основанием, равным диаметру основания конуса ($2R$), и высотой, равной высоте конуса ($H$).

Формула для площади осевого сечения $S_{осн}$:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = RH$.

Из условия задачи $S_{осн} = 48 \text{ см}^2$, получаем первое уравнение:

$RH = 48$.

2. Площадь сечения, проведенного через середину высоты:

Сечение, проведенное параллельно основанию через середину высоты, является кругом. Пусть радиус этого сечения будет $r$.

Высота малого конуса, образованного этим сечением, равна $H/2$. Большой конус и малый конус являются подобными фигурами.

Из подобия треугольников (если рассмотреть осевое сечение) следует, что отношение радиусов равно отношению высот:

$\frac{r}{R} = \frac{H/2}{H} = \frac{1}{2}$.

Отсюда радиус сечения $r = \frac{R}{2}$.

Формула для площади этого сечения $S_{сеч}$:

$S_{сеч} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \pi \frac{R^2}{4}$.

Из условия задачи $S_{сеч} = 9\pi \text{ см}^2$, получаем второе уравнение:

$\pi \frac{R^2}{4} = 9\pi$.

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$\frac{R^2}{4} = 9$.

Найдем $R^2$:

$R^2 = 36$.

Так как радиус должен быть положительным, $R = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$.

3. Нахождение высоты конуса:

Используем найденное значение $R$ в первом уравнении $RH = 48$:

$6H = 48$.

Вычислим $H$:

$H = \frac{48}{6} = 8 \text{ см}$.

4. Нахождение угла между образующей и плоскостью основания:

Угол $\alpha$ между образующей конуса и плоскостью основания является углом в прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей $L$.

Тангенс этого угла определяется как отношение противолежащего катета (высоты $H$) к прилежащему катету (радиусу $R$):

$\tan \alpha = \frac{H}{R}$.

Подставим найденные значения $H = 8 \text{ см}$ и $R = 6 \text{ см}$:

$\tan \alpha = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

Таким образом, угол $\alpha$ равен арктангенсу от $\frac{4}{3}$:

$\alpha = \arctan\left(\frac{4}{3}\right)$.

Ответ:

Угол между образующей и плоскостью основания конуса равен $\arctan\left(\frac{4}{3}\right)$.

333. Радиус основания равностороннего конуса равен 10 см. Найдите с точностью до 0,1 см радиус сечения конуса плоскостью, параллельной его основанию, если площадь этого сечения равна площади осевого сечения конуса.

Дано:

Равносторонний конус

Радиус основания $R = 10 \text{ см}$

Плоскость сечения параллельна основанию

Площадь сечения $S_с$ равна площади осевого сечения $S_{ос}$ ($S_с = S_{ос}$)

Требуемая точность: $0.1 \text{ см}$

Перевод данных в систему СИ:

$R = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Радиус сечения $r$.

Решение:

Для равностороннего конуса образующая $l$ равна диаметру основания ($l=2R$), а высота $H$ связана с радиусом основания $R$ соотношением $H = R\sqrt{3}$.

Используем данные в системе СИ:

Высота конуса: $H = R\sqrt{3} = 0.1\sqrt{3} \text{ м}$.

Осевое сечение равностороннего конуса представляет собой равносторонний треугольник со стороной $2R$. Площадь осевого сечения $S_{ос}$ вычисляется как площадь треугольника с основанием $2R$ и высотой $H$:

$S_{ос} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times (2R) \times H = R \times H$.

Подставим значения $R$ и $H$:

$S_{ос} = 0.1 \text{ м} \times 0.1\sqrt{3} \text{ м} = 0.01\sqrt{3} \text{ м}^2$.

Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, является кругом. Пусть радиус этого круга равен $r$.

Площадь такого сечения $S_с$ вычисляется по формуле площади круга:

$S_с = \pi r^2$.

Согласно условию задачи, площадь сечения равна площади осевого сечения конуса: $S_с = S_{ос}$.

Таким образом, мы можем приравнять выражения для площадей:

$\pi r^2 = 0.01\sqrt{3}$.

Выразим $r^2$:

$r^2 = \frac{0.01\sqrt{3}}{\pi}$.

Вычислим $r$, взяв квадратный корень:

$r = \sqrt{\frac{0.01\sqrt{3}}{\pi}} = 0.1\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{\pi}}$.

Используем приближенные значения $\sqrt{3} \approx 1.73205$ и $\pi \approx 3.14159$:

$r \approx 0.1\sqrt{\frac{1.73205}{3.14159}} \approx 0.1\sqrt{0.55138} \approx 0.1 \times 0.74255$.

$r \approx 0.074255 \text{ м}$.

Переведем результат обратно в сантиметры, так как в условии требуется точность до $0.1 \text{ см}$:

$r \approx 0.074255 \times 100 \text{ см} = 7.4255 \text{ см}$.

Округлим полученное значение до $0.1 \text{ см}$:

$r \approx 7.4 \text{ см}$.

Ответ: $7.4 \text{ см}$.

334. Радиус основания конуса равен $6 \text{ см}$, а его образующая наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через его вершину, если высота конуса образует с этой плоскостью угол $30^\circ$.

Дано:

$R = 6 \text{ см}$

Угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 45^\circ$

Угол, который образует высота конуса с плоскостью сечения $\beta = 30^\circ$

Перевод в СИ:

$R = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Углы остаются в градусах.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$

Решение:

1. Найдем высоту конуса ($H$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания ($R$), высотой конуса ($H$) и образующей ($L$). Угол между образующей и радиусом равен $\alpha = 45^\circ$.

Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета (высоты $H$) к прилежащему катету (радиусу $R$):

$\tan(\alpha) = \frac{H}{R}$

$H = R \cdot \tan(\alpha)$

$H = 6 \text{ см} \cdot \tan(45^\circ)$

$H = 6 \text{ см} \cdot 1 = 6 \text{ см}$.

2. Определим расстояние от центра основания до хорды сечения ($OP$).

Сечение, проходящее через вершину конуса, представляет собой равнобедренный треугольник $SAB$, где $S$ - вершина конуса, $AB$ - хорда основания. Пусть $O$ - центр основания, $P$ - середина хорды $AB$. Тогда $OP \perp AB$. Высота конуса $SO \perp$ плоскости основания, значит, $SO \perp OP$. Треугольник $SOP$ - прямоугольный с прямым углом при $O$.

Угол между высотой конуса $SO$ и плоскостью сечения $SAB$ равен $\beta = 30^\circ$. Пусть $K$ - проекция точки $O$ на плоскость сечения $SAB$. Тогда $OK \perp SAB$, и $SK$ - проекция $SO$ на плоскость $SAB$. Угол $\angle OSK = \beta$.

В прямоугольном треугольнике $OSK$ (прямой угол при $K$):

$OK = SO \cdot \sin(\beta) = H \cdot \sin(30^\circ)$

$OK = 6 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ см}$.

$OK$ - это высота, проведенная из вершины $O$ к гипотенузе $SP$ в прямоугольном треугольнике $SOP$.

Площадь треугольника $SOP$ может быть выражена двумя способами:

$S_{SOP} = \frac{1}{2} \cdot SO \cdot OP$ или $S_{SOP} = \frac{1}{2} \cdot SP \cdot OK$

Отсюда $SO \cdot OP = SP \cdot OK$.

Мы знаем $SP = \sqrt{SO^2 + OP^2} = \sqrt{H^2 + OP^2}$.

Подставим известные значения:

$H \cdot OP = \sqrt{H^2 + OP^2} \cdot OK$

$6 \cdot OP = \sqrt{6^2 + OP^2} \cdot 3$

$2 \cdot OP = \sqrt{36 + OP^2}$

Возведем обе стороны в квадрат:

$(2 \cdot OP)^2 = 36 + OP^2$

$4 \cdot OP^2 = 36 + OP^2$

$3 \cdot OP^2 = 36$

$OP^2 = 12$

$OP = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ см}$.

3. Найдем длину хорды $AB$.

В основании конуса рассмотрим окружность с центром $O$ и радиусом $R$. Хорда $AB$ находится на расстоянии $OP$ от центра $O$. Треугольник $OPA$ - прямоугольный (прямой угол при $P$).

$AP^2 = OA^2 - OP^2 = R^2 - OP^2$

$AP^2 = (6)^2 - (2\sqrt{3})^2 = 36 - 12 = 24$

$AP = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \text{ см}$.

Длина хорды $AB = 2 \cdot AP = 2 \cdot 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6} \text{ см}$.

4. Найдем высоту сечения $SP$.

Треугольник $SOP$ - прямоугольный с прямым углом при $O$.

$SP^2 = SO^2 + OP^2 = H^2 + OP^2$

$SP^2 = (6)^2 + (2\sqrt{3})^2 = 36 + 12 = 48$

$SP = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см}$.

5. Вычислим площадь сечения $S_{сеч}$.

Площадь треугольника $SAB$ равна половине произведения его основания $AB$ на высоту $SP$.

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SP$

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{6}) \cdot (4\sqrt{3})$

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \sqrt{18}$

$S_{сеч} = 8 \cdot \sqrt{9 \cdot 2}$

$S_{сеч} = 8 \cdot 3\sqrt{2}$

$S_{сеч} = 24\sqrt{2} \text{ см}^2$.

Ответ: $24\sqrt{2} \text{ см}^2$.