Номер 330, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

330. Через вершину конуса проведены две плоскости, образующие равные углы с плоскостью основания. Верно ли, что сечения конуса этими плоскостями равны? Ответ объясните.

Рассмотрим правый круговой конус. Пусть его вершина — $S$, центр основания — $O$, высота — $H = SO$, а радиус основания — $R$. Длина любой образующей конуса $L = \sqrt{R^2 + H^2}$ одинакова.

Плоскость, проходящая через вершину конуса, пересекает его по треугольнику. Основанием этого треугольника является хорда основания конуса. Пусть одна такая плоскость пересекает основание по хорде $A_1B_1$, а другая — по хорде $A_2B_2$. Соответствующие сечения представляют собой треугольники $\triangle SA_1B_1$ и $\triangle SA_2B_2$.

Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. Пусть $M_1$ — середина хорды $A_1B_1$, а $M_2$ — середина хорды $A_2B_2$. Так как $O$ — центр основания, $OM_1 \perp A_1B_1$ и $OM_2 \perp A_2B_2$. По теореме о трех перпендикулярах, $SM_1 \perp A_1B_1$ и $SM_2 \perp A_2B_2$. Таким образом, углы между плоскостями сечений и плоскостью основания равны $\angle SM_1O$ и $\angle SM_2O$ соответственно. Обозначим этот угол $\alpha$.

В прямоугольных треугольниках $\triangle SOM_1$ и $\triangle SOM_2$ (где $SO$ — высота конуса, перпендикулярная плоскости основания):
$\tan \alpha = \frac{SO}{OM_1} = \frac{H}{OM_1}$
$\tan \alpha = \frac{SO}{OM_2} = \frac{H}{OM_2}$

Поскольку высота конуса $H$ одинакова для обоих сечений, и углы $\alpha$ также равны по условию, то:
$OM_1 = \frac{H}{\tan \alpha}$
$OM_2 = \frac{H}{\tan \alpha}$
Следовательно, $OM_1 = OM_2$. Это означает, что хорды $A_1B_1$ и $A_2B_2$ равноудалены от центра основания $O$. В круге хорды, равноудаленные от центра, имеют одинаковую длину. Таким образом, $A_1B_1 = A_2B_2$.

Теперь сравним треугольники-сечения $\triangle SA_1B_1$ и $\triangle SA_2B_2$:
Стороны $SA_1$, $SB_1$, $SA_2$, $SB_2$ являются образующими правого кругового конуса, поэтому $SA_1 = SB_1 = SA_2 = SB_2 = L$.
Как было доказано выше, $A_1B_1 = A_2B_2$.
По признаку равенства треугольников по трем сторонам (SSS), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. В данном случае $\triangle SA_1B_1 \cong \triangle SA_2B_2$.

Следовательно, сечения конуса этими плоскостями равны.

Ответ: Да, верно.