Номер 324, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

уровень С

324. Периметр осевого сечения цилиндра равен $P$. Найдите высоту и радиус основания этого цилиндра, если площадь его боковой поверхности наибольшая.

Дано:

Периметр осевого сечения цилиндра: $P$

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ - наибольшая.

(Перевод в систему СИ не требуется, так как $P$ является символьным параметром, обозначающим длину).

Найти:

Высоту цилиндра $h$ и радиус основания $r$.

Решение:

Пусть $r$ - радиус основания цилиндра, а $h$ - его высота.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами $2r$ (диаметр основания) и $h$ (высота цилиндра).

Периметр осевого сечения $P$ задается формулой:

$P = 2(2r + h)$

$P = 4r + 2h$

Выразим высоту $h$ через $P$ и $r$ из этого уравнения:

$2h = P - 4r$

$h = \frac{P - 4r}{2}$

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле:

$S_{бок} = 2\pi rh$

Подставим выражение для $h$ в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок}(r) = 2\pi r \left(\frac{P - 4r}{2}\right)$

$S_{бок}(r) = \pi r (P - 4r)$

$S_{бок}(r) = \pi P r - 4\pi r^2$

Данная функция $S_{бок}(r)$ является квадратичной функцией относительно $r$, которая представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $r^2$ равен $-4\pi$, что является отрицательным числом). Максимальное значение такой функции достигается в вершине параболы.

Координата вершины параболы $ax^2 + bx + c$ по оси $x$ (в нашем случае $r$) находится по формуле $r_v = -\frac{b}{2a}$.

В нашем уравнении $S_{бок}(r) = -4\pi r^2 + \pi P r$, коэффициенты равны $a = -4\pi$ и $b = \pi P$.

Найдем значение $r$, при котором $S_{бок}$ достигает максимума:

$r_{max} = -\frac{\pi P}{2(-4\pi)}$

$r_{max} = -\frac{\pi P}{-8\pi}$

$r_{max} = \frac{P}{8}$

Теперь подставим найденное значение $r_{max}$ в выражение для $h$:

$h = \frac{P - 4r_{max}}{2}$

$h = \frac{P - 4\left(\frac{P}{8}\right)}{2}$

$h = \frac{P - \frac{P}{2}}{2}$

$h = \frac{\frac{P}{2}}{2}$

$h = \frac{P}{4}$

Таким образом, для того чтобы площадь боковой поверхности цилиндра была наибольшей при заданном периметре осевого сечения, высота цилиндра должна быть в два раза больше его радиуса основания.

Ответ:

Высота цилиндра: $h = \frac{P}{4}$

Радиус основания: $r = \frac{P}{8}$