Номер 323, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

13. Площадь поверхности цилиндра. III. Тела вращения и их элементы - номер 323, страница 99.

Условие.

323. Правильный тетраэдр $OABC$, ребро которого равно $b$, и цилиндр расположены так, что вершина $O$ тетраэдра является центром одного основания цилиндра, а вершины $A, B, C$ лежат на окружности другого основания. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано
Правильный тетраэдр $OABC$.
Длина ребра тетраэдра: $OA = OB = OC = AB = BC = CA = b$.
Вершина $O$ тетраэдра является центром одного основания цилиндра.
Вершины $A, B, C$ тетраэдра лежат на окружности другого основания цилиндра.

Найти:
Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$.

Решение
Пусть $r$ - радиус основания цилиндра, $h$ - высота цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2$.
Высота цилиндра $h$ равна высоте правильного тетраэдра, опущенной из вершины $O$ на плоскость основания $ABC$.
Радиус основания цилиндра $r$ равен радиусу окружности, описанной около треугольника $ABC$.
Так как тетраэдр правильный, треугольник $ABC$ является равносторонним со стороной $b$.
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, определяется формулой $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
В нашем случае сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна $b$, поэтому радиус основания цилиндра $r = \frac{b}{\sqrt{3}} = \frac{b\sqrt{3}}{3}$.
Для вычисления высоты тетраэдра $h$ (которая является высотой цилиндра) рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный ребром $OA$ тетраэдра, высотой $OM$ (где $M$ - центр основания $ABC$ и центр второго основания цилиндра) и радиусом $AM$ описанной окружности основания $ABC$.
Длина ребра тетраэдра $OA = b$.
Радиус описанной окружности $AM = r = \frac{b\sqrt{3}}{3}$.
По теореме Пифагора для треугольника $OMA$: $OM^2 + AM^2 = OA^2$.
То есть $h^2 + r^2 = b^2$.
Вычислим $h^2$: $h^2 = b^2 - r^2 = b^2 - \left(\frac{b\sqrt{3}}{3}\right)^2 = b^2 - \frac{3b^2}{9} = b^2 - \frac{b^2}{3} = \frac{3b^2 - b^2}{3} = \frac{2b^2}{3}$.
Следовательно, высота цилиндра $h = \sqrt{\frac{2b^2}{3}} = \frac{b\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{b\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \frac{b\sqrt{6}}{3}$.
Теперь подставим значения $r = \frac{b\sqrt{3}}{3}$ и $h = \frac{b\sqrt{6}}{3}$ в формулу для площади полной поверхности цилиндра:
$S_{полн} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2$
$S_{полн} = 2 \pi \left(\frac{b\sqrt{3}}{3}\right) \left(\frac{b\sqrt{6}}{3}\right) + 2 \pi \left(\frac{b\sqrt{3}}{3}\right)^2$
$S_{полн} = 2 \pi \frac{b^2\sqrt{18}}{9} + 2 \pi \frac{3b^2}{9}$
$S_{полн} = 2 \pi \frac{b^2 \cdot 3\sqrt{2}}{9} + 2 \pi \frac{b^2}{3}$
$S_{полн} = 2 \pi \frac{b^2\sqrt{2}}{3} + 2 \pi \frac{b^2}{3}$
Вынесем общий множитель $\frac{2 \pi b^2}{3}$:
$S_{полн} = \frac{2 \pi b^2}{3} (\sqrt{2} + 1)$.

Ответ:
Площадь полной поверхности цилиндра равна $\frac{2 \pi b^2}{3} (\sqrt{2} + 1)$.