Номер 316, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

316. Прямоугольник с размерами $\sqrt{\frac{6}{\pi}}$ дм и $\sqrt{\frac{24}{\pi}}$ дм является разверткой боковой поверхности двух разных цилиндров. Найдите разность площадей их полных поверхностей.

Дано:

Прямоугольник является разверткой боковой поверхности цилиндров. Его размеры:

$L_1 = \sqrt{\frac{6}{\pi}}$ дм

$L_2 = \sqrt{\frac{24}{\pi}}$ дм

Найти:

Разность площадей их полных поверхностей, $\Delta S = |S_{полн_2} - S_{полн_1}|$.

Решение:

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) равна площади прямоугольника, который является ее разверткой. Размеры прямоугольника $L_1$ и $L_2$.

$S_{бок} = L_1 \cdot L_2 = \sqrt{\frac{6}{\pi}} \cdot \sqrt{\frac{24}{\pi}} = \sqrt{\frac{6 \cdot 24}{\pi \cdot \pi}} = \sqrt{\frac{144}{\pi^2}} = \frac{\sqrt{144}}{\sqrt{\pi^2}} = \frac{12}{\pi}$ дм$^2$.

Эта площадь боковой поверхности одинакова для обоих цилиндров.

Полная площадь поверхности цилиндра ($S_{полн}$) определяется по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн}$, где $S_{осн} = \pi r^2$ - площадь основания цилиндра.

Существуют два различных цилиндра, потому что каждая из сторон прямоугольника ($L_1$ или $L_2$) может быть либо высотой цилиндра $h$, либо длиной окружности основания $2\pi r$.

Рассмотрим эти два случая:

Случай 1: Цилиндр 1

Пусть длина окружности основания $2\pi r_1 = L_1 = \sqrt{\frac{6}{\pi}}$ дм, а высота $h_1 = L_2 = \sqrt{\frac{24}{\pi}}$ дм.

Найдем радиус основания $r_1$:

$r_1 = \frac{L_1}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{6}{\pi}} = \frac{\sqrt{6}}{2\pi\sqrt{\pi}}$ дм.

Найдем площадь основания $S_{осн_1}$:

$S_{осн_1} = \pi r_1^2 = \pi \left( \frac{\sqrt{6}}{2\pi\sqrt{\pi}} \right)^2 = \pi \cdot \frac{6}{4\pi^2 \cdot \pi} = \frac{6}{4\pi^2} = \frac{3}{2\pi^2}$ дм$^2$.

Полная площадь поверхности Цилиндра 1 ($S_{полн_1}$):

$S_{полн_1} = S_{бок} + 2 S_{осн_1} = \frac{12}{\pi} + 2 \cdot \frac{3}{2\pi^2} = \frac{12}{\pi} + \frac{3}{\pi^2}$ дм$^2$.

Случай 2: Цилиндр 2

Пусть длина окружности основания $2\pi r_2 = L_2 = \sqrt{\frac{24}{\pi}}$ дм, а высота $h_2 = L_1 = \sqrt{\frac{6}{\pi}}$ дм.

Найдем радиус основания $r_2$:

$r_2 = \frac{L_2}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{24}{\pi}} = \frac{\sqrt{24}}{2\pi\sqrt{\pi}}$ дм.

Найдем площадь основания $S_{осн_2}$:

$S_{осн_2} = \pi r_2^2 = \pi \left( \frac{\sqrt{24}}{2\pi\sqrt{\pi}} \right)^2 = \pi \cdot \frac{24}{4\pi^2 \cdot \pi} = \frac{24}{4\pi^2} = \frac{6}{\pi^2}$ дм$^2$.

Полная площадь поверхности Цилиндра 2 ($S_{полн_2}$):

$S_{полн_2} = S_{бок} + 2 S_{осн_2} = \frac{12}{\pi} + 2 \cdot \frac{6}{\pi^2} = \frac{12}{\pi} + \frac{12}{\pi^2}$ дм$^2$.

Найдем разность площадей полных поверхностей этих двух цилиндров:

$\Delta S = |S_{полн_2} - S_{полн_1}| = \left| \left( \frac{12}{\pi} + \frac{12}{\pi^2} \right) - \left( \frac{12}{\pi} + \frac{3}{\pi^2} \right) \right|$

$\Delta S = \left| \frac{12}{\pi} + \frac{12}{\pi^2} - \frac{12}{\pi} - \frac{3}{\pi^2} \right|$

$\Delta S = \left| \frac{12}{\pi^2} - \frac{3}{\pi^2} \right|$

$\Delta S = \left| \frac{9}{\pi^2} \right| = \frac{9}{\pi^2}$ дм$^2$.

Ответ:

Разность площадей их полных поверхностей составляет $\frac{9}{\pi^2}$ дм$^2$.