Номер 312, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

312. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, площадь основания которого равна $\pi \text{ дм}^2$, а площадь его осевого сечения - $2 \text{ дм}^2$.

Дано:

$S_{осн} = \pi \, \text{дм}^2$

$S_{сеч} = 2 \, \text{дм}^2$

Перевод в СИ:

$S_{осн} = \pi \, \text{дм}^2 = \pi \cdot (10^{-1} \, \text{м})^2 = \pi \cdot 10^{-2} \, \text{м}^2$

$S_{сеч} = 2 \, \text{дм}^2 = 2 \cdot (10^{-1} \, \text{м})^2 = 2 \cdot 10^{-2} \, \text{м}^2$

Найти:

$S_{полн} = ?$

Решение:

Площадь основания цилиндра определяется по формуле: $S_{осн} = \pi R^2$, где $R$ – радиус основания. Подставим известное значение площади основания:

$\pi \cdot 10^{-2} \, \text{м}^2 = \pi R^2$

Разделим обе части на $\pi$:

$R^2 = 10^{-2} \, \text{м}^2$

Извлечем квадратный корень, учитывая, что радиус должен быть положительным:

$R = \sqrt{10^{-2}} \, \text{м} = 10^{-1} \, \text{м}$

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна диаметру основания ($2R$), а другая – высоте цилиндра ($H$). Площадь осевого сечения определяется по формуле: $S_{сеч} = 2R H$. Подставим известные значения $S_{сеч}$ и найденный $R$:

$2 \cdot 10^{-2} \, \text{м}^2 = 2 \cdot (10^{-1} \, \text{м}) \cdot H$

Упростим выражение:

$2 \cdot 10^{-2} = 0.2 H$

Найдем высоту $H$:

$H = \frac{2 \cdot 10^{-2}}{0.2} \, \text{м} = \frac{0.02}{0.2} \, \text{м} = 0.1 \, \text{м}$

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ состоит из двух площадей оснований и площади боковой поверхности $S_{бок}$. Формула: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$. Площадь боковой поверхности определяется по формуле $S_{бок} = 2\pi R H$. Объединяя формулы, получаем: $S_{полн} = 2\pi R^2 + 2\pi R H$. Подставим найденные значения $R$ и $H$:

$S_{полн} = 2 \cdot (\pi \cdot (10^{-1} \, \text{м})^2) + 2\pi \cdot (10^{-1} \, \text{м}) \cdot (10^{-1} \, \text{м})$

$S_{полн} = 2 \cdot (\pi \cdot 10^{-2} \, \text{м}^2) + 2\pi \cdot 10^{-2} \, \text{м}^2$

$S_{полн} = 0.02\pi \, \text{м}^2 + 0.02\pi \, \text{м}^2$

$S_{полн} = 0.04\pi \, \text{м}^2$

Переведем полученный результат обратно в дециметры квадратные (учитывая, что $1 \, \text{м} = 10 \, \text{дм}$, то $1 \, \text{м}^2 = (10 \, \text{дм})^2 = 100 \, \text{дм}^2$):

$S_{полн} = 0.04\pi \cdot 100 \, \text{дм}^2 = 4\pi \, \text{дм}^2$

Ответ: $4\pi \, \text{дм}^2$