Номер 318, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

318. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, отсекает от окружности основания дугу в $90^\circ$. Диагональ сечения вдвое больше радиуса цилиндра, равного $4 \text{ см}$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Дано:

Радиус цилиндра $R = 4 \text{ см}$

Угол дуги, отсекаемой плоскостью от окружности основания $\alpha = 90^\circ$

Диагональ сечения $d = 2R$

Перевод в СИ:

$R = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$

Решение:

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2 \pi R^2 + 2 \pi R H$, где $R$ – радиус основания, а $H$ – высота цилиндра.

Нам известен радиус $R = 4 \text{ см}$. Для вычисления площади полной поверхности необходимо найти высоту цилиндра $H$.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, представляет собой прямоугольник. Одна из его сторон – это хорда, отсекающая от окружности основания дугу в $90^\circ$. Обозначим эту хорду как $a$.

Рассмотрим основание цилиндра. Соединим центр основания с концами хорды. Получится равнобедренный треугольник, у которого две стороны равны радиусу $R$, а угол между ними составляет $90^\circ$. По теореме Пифагора для этого прямоугольного равнобедренного треугольника найдем длину хорды $a$:

$a^2 = R^2 + R^2$

$a^2 = 2R^2$

$a = R\sqrt{2}$

Подставим значение радиуса $R = 4 \text{ см}$:

$a = 4\sqrt{2} \text{ см}$

Вторая сторона прямоугольного сечения – это высота цилиндра $H$. Диагональ этого прямоугольного сечения $d$ по условию вдвое больше радиуса цилиндра: $d = 2R$.

$d = 2 \times 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$

По теореме Пифагора для прямоугольного сечения: $d^2 = a^2 + H^2$.

Подставим известные значения $d = 8 \text{ см}$ и $a = 4\sqrt{2} \text{ см}$:

$(8)^2 = (4\sqrt{2})^2 + H^2$

$64 = (16 \times 2) + H^2$

$64 = 32 + H^2$

$H^2 = 64 - 32$

$H^2 = 32$

$H = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \text{ см}$

Теперь, зная радиус $R = 4 \text{ см}$ и высоту $H = 4\sqrt{2} \text{ см}$, можем вычислить площадь полной поверхности цилиндра:

$S_{полн} = 2 \pi R^2 + 2 \pi R H$

$S_{полн} = 2 \pi (4)^2 + 2 \pi (4) (4\sqrt{2})$

$S_{полн} = 2 \pi (16) + 2 \pi (16\sqrt{2})$

$S_{полн} = 32 \pi + 32 \pi \sqrt{2}$

$S_{полн} = 32 \pi (1 + \sqrt{2}) \text{ см}^2$

Ответ: $32 \pi (1 + \sqrt{2}) \text{ см}^2$