Номер 322, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

322. Основание пирамиды – правильный треугольник со стороной $a$. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, а третья образует с ней угол $\alpha$. В пирамиду вписан цилиндр, высота которого равна радиусу его основания. Найдите радиус основания цилиндра.

Дано:

Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной $a$.

Две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания.

Третья боковая грань образует с плоскостью основания угол $\alpha$.

В пирамиду вписан цилиндр, высота которого равна радиусу его основания ($h_c = r_c$).

Перевод в СИ:

Параметр $a$ является длиной и остается в своем символьном виде.

Угол $\alpha$ остается в символьном виде.

Найти:

Радиус основания цилиндра $r_c$.

Решение:

Пусть основание пирамиды — правильный треугольник $ABC$ со стороной $a$. Поскольку две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, их общая линия пересечения перпендикулярна этой плоскости. Пусть это будут грани $SAB$ и $SAC$. Тогда ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, $SA$ является высотой пирамиды, $H = SA$, а точка $A$ — это проекция вершины $S$ на плоскость основания.

Найдем высоту пирамиды $H$. Третья боковая грань $SBC$ образует угол $\alpha$ с плоскостью основания. Для нахождения этого угла проведем из вершины $A$ перпендикуляр к стороне $BC$ в плоскости основания. Поскольку $\triangle ABC$ — правильный, этот перпендикуляр $AM$ будет медианой, где $M$ — середина $BC$. Длина $AM$ (высота правильного треугольника) равна $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Так как $SA \perp$ плоскости $ABC$ и $AM$ лежит в этой плоскости, то $SA \perp AM$. По теореме о трех перпендикулярах, если $AM \perp BC$ и $SA \perp AM$, то $SM \perp BC$. Следовательно, угол между гранью $SBC$ и плоскостью основания $ABC$ равен $\angle SMA$. По условию $\angle SMA = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAM$ (с прямым углом при $A$).

$SA = H$

$AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Тогда $\tan \alpha = \frac{SA}{AM} = \frac{H}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}$.

Отсюда высота пирамиды $H = \frac{a\sqrt{3}}{2}\tan\alpha$.

Цилиндр вписан в пирамиду. Это означает, что его нижнее основание лежит на основании пирамиды, а верхнее основание является окружностью, касающейся всех трех боковых граней пирамиды. Ось цилиндра параллельна высоте пирамиды $SA$.

Пусть $r_c$ — радиус основания цилиндра, а $h_c$ — его высота. По условию, $h_c = r_c$.

Верхнее основание цилиндра — это вписанная окружность в сечении пирамиды, параллельном основанию, на высоте $h_c$. Пусть это сечение образует треугольник $A'B'C'$. Треугольник $A'B'C'$ подобен треугольнику $ABC$.

Высота малой пирамиды $S-A'B'C'$ (от вершины $S$ до плоскости верхнего основания цилиндра) равна $H - h_c$.

Коэффициент подобия $k$ между пирамидой $S-A'B'C'$ и $S-ABC$ равен отношению их высот:

$k = \frac{H - h_c}{H} = 1 - \frac{h_c}{H}$.

Радиус вписанной окружности в $\triangle A'B'C'$ равен $r_c$. Он связан с радиусом вписанной окружности в $\triangle ABC$ ($r_{in}$) через коэффициент подобия:

$r_c = k \cdot r_{in}$.

Найдем радиус вписанной окружности в основании пирамиды ($r_{in}$). Для правильного треугольника со стороной $a$, $r_{in} = \frac{\text{площадь}}{\text{полупериметр}}$.

Площадь правильного треугольника $S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$.

Полупериметр $p = \frac{3a}{2}$.

$r_{in} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2}{\frac{3}{2}a} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot \frac{2}{3a} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Теперь подставим $k$ и $r_{in}$ в формулу для $r_c$:

$r_c = \left(1 - \frac{h_c}{H}\right) r_{in}$.

Так как $h_c = r_c$, получаем:

$r_c = \left(1 - \frac{r_c}{H}\right) r_{in}$.

$r_c = r_{in} - \frac{r_c r_{in}}{H}$.

$r_c + \frac{r_c r_{in}}{H} = r_{in}$.

$r_c \left(1 + \frac{r_{in}}{H}\right) = r_{in}$.

$r_c \left(\frac{H + r_{in}}{H}\right) = r_{in}$.

$r_c = \frac{H r_{in}}{H + r_{in}}$.

Теперь подставим выражения для $H$ и $r_{in}$:

$r_c = \frac{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\tan\alpha\right) \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\tan\alpha\right) + \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}$.

Вычислим числитель:

$\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\tan\alpha\right) \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right) = \frac{a^2 (\sqrt{3})^2}{12}\tan\alpha = \frac{3a^2}{12}\tan\alpha = \frac{a^2}{4}\tan\alpha$.

Вычислим знаменатель, вынеся общий множитель $\frac{a\sqrt{3}}{6}$:

$\frac{a\sqrt{3}}{2}\tan\alpha + \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{a\sqrt{3}}{6} \left(3\tan\alpha + 1\right)$.

Теперь подставим обратно в выражение для $r_c$:

$r_c = \frac{\frac{a^2}{4}\tan\alpha}{\frac{a\sqrt{3}}{6}(3\tan\alpha + 1)}$.

$r_c = \frac{a^2\tan\alpha}{4} \cdot \frac{6}{a\sqrt{3}(3\tan\alpha + 1)}$.

$r_c = \frac{6a^2\tan\alpha}{4a\sqrt{3}(3\tan\alpha + 1)}$.

Сократим коэффициенты и $a$:

$r_c = \frac{3a\tan\alpha}{2\sqrt{3}(3\tan\alpha + 1)}$.

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$ для избавления от иррациональности в знаменателе:

$r_c = \frac{3a\tan\alpha \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3}(3\tan\alpha + 1) \cdot \sqrt{3}}$.

$r_c = \frac{3a\sqrt{3}\tan\alpha}{2 \cdot 3 (3\tan\alpha + 1)}$.

$r_c = \frac{a\sqrt{3}\tan\alpha}{2(3\tan\alpha + 1)}$.

Ответ:

Радиус основания цилиндра $r_c = \frac{a\sqrt{3}\tan\alpha}{2(3\tan\alpha + 1)}$.