Номер 314, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

314. Каким должен быть радиус основания равностороннего цилиндра, чтобы площадь его полной поверхности была равной:

а) $12\pi \text{ м}^2$;

б) площади поверхности куба с ребром 2 м?

а) 12π м²

Дано:

Равносторонний цилиндр.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн} = 12\pi \text{ м}^2$.

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Радиус основания цилиндра $r$.

Решение:

Равносторонний цилиндр - это цилиндр, у которого высота $h$ равна диаметру основания, то есть $h = 2r$.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2\pi r^2 + 2\pi r h$.

Подставим $h = 2r$ в формулу площади полной поверхности:

$S_{полн} = 2\pi r^2 + 2\pi r (2r)$

$S_{полн} = 2\pi r^2 + 4\pi r^2$

$S_{полн} = 6\pi r^2$

По условию, $S_{полн} = 12\pi \text{ м}^2$. Приравняем формулу к данному значению:

$6\pi r^2 = 12\pi$

Разделим обе стороны уравнения на $6\pi$:

$r^2 = \frac{12\pi}{6\pi}$

$r^2 = 2$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $r$ (радиус должен быть положительным):

$r = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$ м

б) площади поверхности куба с ребром 2 м?

Дано:

Равносторонний цилиндр.

Ребро куба $a = 2 \text{ м}$.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн\_цил}$ равна площади полной поверхности куба $S_{полн\_куб}$.

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Радиус основания цилиндра $r$.

Решение:

Сначала найдем площадь полной поверхности куба.

Площадь одной грани куба равна $a^2$. У куба 6 граней, поэтому площадь полной поверхности куба $S_{полн\_куб}$ вычисляется по формуле: $S_{полн\_куб} = 6a^2$.

Подставим значение ребра куба $a = 2 \text{ м}$:

$S_{полн\_куб} = 6 \times (2 \text{ м})^2$

$S_{полн\_куб} = 6 \times 4 \text{ м}^2$

$S_{полн\_куб} = 24 \text{ м}^2$

По условию, площадь полной поверхности равностороннего цилиндра равна площади полной поверхности куба:

$S_{полн\_цил} = S_{полн\_куб}$

$S_{полн\_цил} = 24 \text{ м}^2$

Для равностороннего цилиндра (где $h = 2r$), формула площади полной поверхности равна $S_{полн\_цил} = 6\pi r^2$ (как показано в части а)).

Приравняем эту формулу к найденной площади:

$6\pi r^2 = 24$

Разделим обе стороны уравнения на $6\pi$:

$r^2 = \frac{24}{6\pi}$

$r^2 = \frac{4}{\pi}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $r$:

$r = \sqrt{\frac{4}{\pi}}$

$r = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{\pi}}$

$r = \frac{2}{\sqrt{\pi}}$

Ответ: $\frac{2}{\sqrt{\pi}}$ м