Вопросы?, страница 97 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Что принимается за площадь поверхности цилиндра?

2. По каким формулам можно найти площади боковой и полной поверхностей цилиндра? Выведите эти формулы.

3. Что является разверткой боковой поверхности цилиндра? Изобразите развертку полной поверхности цилиндра.

1. Что принимается за площадь поверхности цилиндра?

За площадь полной поверхности цилиндра принимается сумма площадей его боковой поверхности и двух его оснований. Если в задаче говорится просто о «площади поверхности цилиндра» без уточнений, как правило, имеется в виду именно площадь полной поверхности.

Ответ: Сумма площадей боковой поверхности и двух оснований цилиндра.

2. По каким формулам можно найти площади боковой и полной поверхностей цилиндра? Выведите эти формулы.

Пусть дан цилиндр с радиусом основания $r$ и высотой $h$.

Вывод формулы площади боковой поверхности ($S_{бок}$)
Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$. Другая сторона равна длине окружности основания цилиндра, которая вычисляется по формуле $C = 2\pi r$.
Площадь этого прямоугольника, а следовательно, и площадь боковой поверхности цилиндра, равна произведению его сторон:
$S_{бок} = C \cdot h = 2\pi r \cdot h = 2\pi rh$

Вывод формулы площади полной поверхности ($S_{полн}$)
Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{полн}$) равна сумме площади его боковой поверхности ($S_{бок}$) и площадей двух его оснований ($S_{осн}$).
Основанием цилиндра является круг радиусом $r$. Площадь одного такого круга равна:
$S_{осн} = \pi r^2$
Поскольку у цилиндра два основания, их общая площадь составляет $2 \cdot S_{осн} = 2\pi r^2$.
Сложив площадь боковой поверхности и площади двух оснований, получаем формулу для площади полной поверхности:
$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2\pi rh + 2\pi r^2$
Эту формулу также можно записать, вынеся за скобки общий множитель $2\pi r$:
$S_{полн} = 2\pi r(h + r)$

Ответ: Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 2\pi rh$. Площадь полной поверхности: $S_{полн} = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h + r)$.

3. Что является разверткой боковой поверхности цилиндра? Изобразите развертку полной поверхности цилиндра.

Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра ($h$), а другая — длине окружности его основания ($2\pi r$).
Развертка полной поверхности цилиндра состоит из этого прямоугольника и двух кругов, которые являются основаниями цилиндра.

Изображение развертки полной поверхности цилиндра:


Ответ: Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник. Развертка полной поверхности, состоящая из прямоугольника (боковой поверхности) и двух кругов (оснований), изображена выше.