Номер 304, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

304. Образующая цилиндра является общей стороной двух его перпендикулярных сечений, площади которых равны $S_1$ и $S_2$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Дано:

Цилиндр.

Два перпендикулярных сечения, имеющие общую образующую цилиндра в качестве стороны.

Площадь первого сечения: $S_1$.

Площадь второго сечения: $S_2$.

Перевод в СИ:

Поскольку значения $S_1$ и $S_2$ даны в общих единицах площади, и ответ будет выражен через эти символы, нет необходимости в переводе в конкретные единицы СИ.

Найти:

Площадь осевого сечения цилиндра: $S_{ос}$.

Решение:

1. Обозначим высоту цилиндра (которая также является образующей) за $h$, а радиус основания цилиндра за $R$.

2. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна диаметру основания ($2R$), а другая сторона — высоте цилиндра ($h$). Следовательно, площадь осевого сечения $S_{ос}$ выражается формулой:

$S_{ос} = 2Rh$

3. Каждое из двух данных перпендикулярных сечений также является прямоугольником. Одной из сторон каждого такого прямоугольника является образующая цилиндра $h$. Другие стороны этих прямоугольников, $d_1$ и $d_2$, являются хордами основания цилиндра.

Площади данных сечений выражаются следующим образом:

$S_1 = d_1 h \Rightarrow d_1 = \frac{S_1}{h}$

$S_2 = d_2 h \Rightarrow d_2 = \frac{S_2}{h}$

4. Согласно условию, образующая цилиндра является общей стороной для этих двух перпендикулярных сечений. Это означает, что эти два прямоугольных сечения имеют общую грань, лежащую на поверхности цилиндра и являющуюся образующей. Пусть эта общая образующая начинается в точке $B$ на окружности основания.

5. Поскольку плоскости сечений перпендикулярны и имеют общую прямую (общую образующую $h$), то хорды $d_1$ (например, $BC$) и $d_2$ (например, $BE$), которые лежат в плоскости основания и перпендикулярны общей образующей, также перпендикулярны друг другу. Таким образом, в плоскости основания хорды $BC$ и $BE$ перпендикулярны, и угол $CBE$ равен $90^\circ$.

6. Треугольник $BCE$ вписан в окружность основания, и поскольку угол $CBE$ является прямым, его гипотенуза $CE$ должна быть диаметром этой окружности. Следовательно, $CE = 2R$.

7. Применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $BCE$:

$BC^2 + BE^2 = CE^2$

$d_1^2 + d_2^2 = (2R)^2$

$d_1^2 + d_2^2 = 4R^2$

8. Подставим выражения для $d_1$ и $d_2$ из пункта 3 в полученное уравнение:

$\left(\frac{S_1}{h}\right)^2 + \left(\frac{S_2}{h}\right)^2 = 4R^2$

$\frac{S_1^2}{h^2} + \frac{S_2^2}{h^2} = 4R^2$

$\frac{S_1^2 + S_2^2}{h^2} = 4R^2$

9. Умножим обе части уравнения на $h^2$:

$S_1^2 + S_2^2 = 4R^2 h^2$

10. Мы знаем, что $S_{ос} = 2Rh$. Возведем это выражение в квадрат:

$S_{ос}^2 = (2Rh)^2 = 4R^2 h^2$

11. Сравнивая результаты из пунктов 9 и 10, видим, что:

$S_{ос}^2 = S_1^2 + S_2^2$

Отсюда находим площадь осевого сечения:

$S_{ос} = \sqrt{S_1^2 + S_2^2}$

Ответ:

$S_{ос} = \sqrt{S_1^2 + S_2^2}$