Номер 300, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

300. Цилиндр расположен внутри двугранного угла, равного $60^\circ$, так, что на гранях угла лежит по одной его образующей. Расстояние от центра основания цилиндра до ребра двугранного угла равно 15 см. Найдите радиус основания цилиндра.

Дано

Угол двугранного угла: $\alpha = 60^\circ$
Расстояние от центра основания цилиндра до ребра двугранного угла: $d = 15 \text{ см}$

Перевод в СИ

$\alpha = 60^\circ$
$d = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

Найти:

Радиус основания цилиндра: $r$

Решение

Рассмотрим поперечное сечение двугранного угла и цилиндра плоскостью, перпендикулярной ребру двугранного угла и оси цилиндра. В этом сечении двугранный угол будет представлен двумя прямыми, образующими угол $60^\circ$, а основание цилиндра – окружностью. Поскольку образующие цилиндра лежат на гранях двугранного угла, это означает, что окружность основания цилиндра является касательной к обеим прямым, представляющим грани угла в сечении.

Центр основания цилиндра (обозначим его $O$) равноудален от касательных плоскостей (граней двугранного угла), а также находится на биссектрисе угла, образованного этими гранями. Ребро двугранного угла в данном сечении будет представлять собой точку (обозначим ее $A$). Расстояние от центра основания цилиндра до ребра двугранного угла — это расстояние от $O$ до $A$, которое дано как $d = 15 \text{ см}$.

Пусть $P$ — точка касания окружности основания цилиндра с одной из граней двугранного угла (в сечении это точка касания окружности с одной из прямых). Радиус $r$ цилиндра равен длине отрезка $OP$. Отрезок $OP$ перпендикулярен касательной прямой, то есть $OP \perp AP$.

Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник $APO$, где $AP$ лежит на одной из граней, $OP$ — радиус, перпендикулярный грани, а $AO$ — гипотенуза, являющаяся расстоянием от центра основания до ребра. Угол между $AO$ (биссектрисой) и гранью $AP$ равен половине двугранного угла, то есть $\alpha/2 = 60^\circ/2 = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $APO$ синус угла $\angle PAO$ (который равен $30^\circ$) определяется как отношение противолежащего катета $OP$ к гипотенузе $AO$:

$\sin(\angle PAO) = \frac{OP}{AO}$

Подставляем известные значения:

$\sin(30^\circ) = \frac{r}{d}$

Известно, что $\sin(30^\circ) = 0.5$. Тогда:

$0.5 = \frac{r}{15 \text{ см}}$

Выразим радиус $r$:

$r = 15 \text{ см} \cdot 0.5$

$r = 7.5 \text{ см}$

Ответ:

Радиус основания цилиндра составляет $7.5 \text{ см}$.