Номер 295, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

295. Образующая цилиндра является общей стороной двух его перпендикулярных сечений, площади которых равны 15 дм$^2$ и 8 дм$^2$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, если его высота равна 5 дм.

Дано:

Площадь первого перпендикулярного сечения $S_1 = 15 \text{ дм}^2$.

Площадь второго перпендикулярного сечения $S_2 = 8 \text{ дм}^2$.

Высота цилиндра $H = 5 \text{ дм}$.

Общая сторона перпендикулярных сечений является образующей цилиндра.

Сечения перпендикулярны друг другу.

Перевод в СИ:

$S_1 = 15 \text{ дм}^2 = 0.15 \text{ м}^2$.

$S_2 = 8 \text{ дм}^2 = 0.08 \text{ м}^2$.

$H = 5 \text{ дм} = 0.5 \text{ м}$.

Найти:

Площадь осевого сечения цилиндра $S_{ос}$.

Решение:

Обозначим высоту цилиндра как $H$. Площади перпендикулярных сечений, имеющих общую образующую (сторону, равную высоте $H$), можно выразить как произведение высоты на ширину соответствующего сечения (хорду основания). Пусть $x_1$ и $x_2$ - ширины этих сечений.

Тогда:

$S_1 = x_1 \cdot H \Rightarrow x_1 = \frac{S_1}{H}$

$S_2 = x_2 \cdot H \Rightarrow x_2 = \frac{S_2}{H}$

Подставим значения:

$x_1 = \frac{15 \text{ дм}^2}{5 \text{ дм}} = 3 \text{ дм}$

$x_2 = \frac{8 \text{ дм}^2}{5 \text{ дм}} = 1.6 \text{ дм}$

Поскольку сечения перпендикулярны и имеют общую образующую, это означает, что хорды $x_1$ и $x_2$ в основании цилиндра, исходящие из одной точки на окружности (где эта образующая пересекает основание), взаимно перпендикулярны. В таком случае, эти хорды образуют прямоугольный треугольник, гипотенуза которого является диаметром основания цилиндра ($2R$).

По теореме Пифагора:

$(2R)^2 = x_1^2 + x_2^2$

Подставим значения $x_1$ и $x_2$:

$(2R)^2 = (3 \text{ дм})^2 + (1.6 \text{ дм})^2$

$(2R)^2 = 9 \text{ дм}^2 + 2.56 \text{ дм}^2$

$(2R)^2 = 11.56 \text{ дм}^2$

$2R = \sqrt{11.56 \text{ дм}^2}$

$2R = 3.4 \text{ дм}$

Площадь осевого сечения цилиндра ($S_{ос}$) представляет собой произведение диаметра основания на высоту цилиндра:

$S_{ос} = 2R \cdot H$

Подставим найденные значения:

$S_{ос} = 3.4 \text{ дм} \cdot 5 \text{ дм}$

$S_{ос} = 17 \text{ дм}^2$

Ответ:

Площадь осевого сечения цилиндра равна $17 \text{ дм}^2$.