Номер 293, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

293. Радиус основания цилиндра равен 12 см. Найдите расстояние между осевым сечением цилиндра и параллельным ему сечением, площадь которого вдвое меньше.

Дано:

Радиус основания цилиндра $R = 12 \text{ см}$.

Площадь параллельного осевому сечению сечения $S_{пар}$ в два раза меньше площади осевого сечения $S_{ос}$: $S_{пар} = 0.5 \cdot S_{ос}$.

Перевод в СИ:

$R = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$.

Найти:

Расстояние $d$ между осевым сечением цилиндра и параллельным ему сечением.

Решение:

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, одна из сторон которого является диаметром основания цилиндра ($2R$), а другая сторона - высотой цилиндра ($H$).

Площадь осевого сечения $S_{ос}$ выражается формулой: $S_{ос} = 2R \cdot H$.

Параллельное осевому сечению сечение также является прямоугольником. Его высота равна высоте цилиндра ($H$), а ширина $w$ является хордой основания цилиндра.

Площадь параллельного сечения $S_{пар}$ выражается формулой: $S_{пар} = w \cdot H$.

Согласно условию задачи, площадь параллельного сечения в два раза меньше площади осевого сечения:

$S_{пар} = 0.5 \cdot S_{ос}$

Подставим выражения для площадей:

$w \cdot H = 0.5 \cdot (2R \cdot H)$

$w \cdot H = R \cdot H$

Поскольку высота цилиндра $H$ не равна нулю, мы можем сократить ее из обеих частей уравнения:

$w = R$

Это означает, что ширина параллельного сечения равна радиусу основания цилиндра. Расстояние $d$, которое нам нужно найти, это расстояние от оси цилиндра (центра основания) до этой хорды $w$.

Рассмотрим основание цилиндра - круг радиусом $R$. Хорда $w = R$ расположена на расстоянии $d$ от центра круга. Если провести радиусы к концам хорды и перпендикуляр из центра к хорде, образуется равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $R$ и основанием $R$. Перпендикуляр из центра делит хорду пополам, образуя два прямоугольных треугольника. Длина половины хорды будет $w/2 = R/2$.

Применяем теорему Пифагора к одному из этих прямоугольных треугольников, где гипотенуза - радиус $R$, один катет - половина хорды $R/2$, а другой катет - искомое расстояние $d$:

$R^2 = d^2 + (R/2)^2$

$R^2 = d^2 + R^2/4$

Выразим $d^2$:

$d^2 = R^2 - R^2/4$

$d^2 = \frac{4R^2 - R^2}{4}$

$d^2 = \frac{3R^2}{4}$

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти $d$:

$d = \sqrt{\frac{3R^2}{4}}$

$d = \frac{\sqrt{3}R}{2}$

Подставим данное значение радиуса $R = 12 \text{ см}$:

$d = \frac{\sqrt{3} \cdot 12}{2}$

$d = 6\sqrt{3} \text{ см}$

Ответ: $6\sqrt{3} \text{ см}$.