Номер 296, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

296. Плоскость пересекает основания цилиндра по хордам, равным 12 см и 16 см, расстояние между которыми равно 18 см. Найдите высоту цилиндра, если радиус его основания равен 10 см.

Дано:
Длина первой хорды $l_1 = 12$ см
Длина второй хорды $l_2 = 16$ см
Расстояние между хордами (в плоскости сечения) $d = 18$ см
Радиус основания цилиндра $R = 10$ см

Перевод в СИ:
$l_1 = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$
$l_2 = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$
$d = 18 \text{ см} = 0.18 \text{ м}$
$R = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$

Найти:
Высота цилиндра $H$

Решение:

Плоскость пересекает основания цилиндра по хордам. Так как хорды имеют разную длину ($12$ см и $16$ см), плоскость сечения не параллельна оси цилиндра. Хорды, образованные такой плоскостью в двух основаниях, параллельны друг другу. Расстояние между этими хордами, равное $18$ см, представляет собой длину отрезка, соединяющего их середины в плоскости сечения.

1. Найдем расстояние от центра основания до каждой хорды. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора. Радиус основания $R$, половина длины хорды $l/2$ и расстояние от центра до хорды $h$ образуют прямоугольный треугольник.

Для первой хорды $l_1 = 12$ см:
Половина хорды: $l_1/2 = 12/2 = 6$ см.
Расстояние от центра до первой хорды $h_1$:
$h_1 = \sqrt{R^2 - (l_1/2)^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Для второй хорды $l_2 = 16$ см:
Половина хорды: $l_2/2 = 16/2 = 8$ см.
Расстояние от центра до второй хорды $h_2$:
$h_2 = \sqrt{R^2 - (l_2/2)^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

2. Рассмотрим сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной обеим хордам и проходящей через ось цилиндра. В этом сечении ось цилиндра представлена отрезком, соединяющим центры оснований $O_1$ и $O_2$, длиной $H$. Середины хорд $M_1$ и $M_2$ расположены на расстояниях $h_1$ и $h_2$ от оси цилиндра соответственно. Отрезок $M_1M_2$ (расстояние $d = 18$ см) является гипотенузой прямоугольного треугольника, где одним катетом является высота цилиндра $H$, а другим катетом — горизонтальное расстояние между проекциями середин хорд на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра.

Существует два возможных случая расположения хорд относительно оси цилиндра:
а) Хорды расположены по одну сторону от оси цилиндра. В этом случае горизонтальное расстояние между проекциями середин хорд на плоскость, проходящую через ось цилиндра и перпендикулярную хордам, равно $|h_1 - h_2|$.
б) Хорды расположены по разные стороны от оси цилиндра. В этом случае горизонтальное расстояние равно $h_1 + h_2$.
Поскольку в задаче не указано положение хорд относительно оси, но даны хорды разной длины, что характерно для наклонного сечения, проходящего "насквозь" через цилиндр (то есть через ось), то обычно подразумевается случай, когда хорды расположены по разные стороны от оси.

Примем случай б) (хорды по разные стороны от оси):
Горизонтальное расстояние: $\Delta h = h_1 + h_2 = 8 + 6 = 14$ см.
Согласно теореме Пифагора для треугольника, образованного высотой $H$, горизонтальным расстоянием $\Delta h$ и расстоянием между хордами $d$:
$H^2 + (\Delta h)^2 = d^2$
$H^2 + 14^2 = 18^2$
$H^2 + 196 = 324$
$H^2 = 324 - 196$
$H^2 = 128$
$H = \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2}$ см.

Ради пояснения, рассмотрим также случай а) (хорды по одну сторону от оси):
Горизонтальное расстояние: $\Delta h = |h_1 - h_2| = |8 - 6| = 2$ см.
$H^2 + (\Delta h)^2 = d^2$
$H^2 + 2^2 = 18^2$
$H^2 + 4 = 324$
$H^2 = 324 - 4$
$H^2 = 320$
$H = \sqrt{320} = \sqrt{64 \times 5} = 8\sqrt{5}$ см.
Без дополнительной информации о расположении плоскости сечения, оба ответа математически возможны. Однако, в контексте задач такого типа, когда хорды имеют разную длину и задано "расстояние между ними", чаще всего подразумевается, что секущая плоскость пересекает ось цилиндра, что приводит к использованию суммы расстояний от оси.

Ответ: $8\sqrt{2}$ см.