Номер 303, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

303. Двугранный угол между плоскостями двух сечений цилиндра, проходящими через одну из его образующих, равен $60^\circ$. Площади этих сечений равны $110 \, \text{см}^2$ и $130 \, \text{см}^2$. Найдите радиус основания цилиндра, если его высота равна $10 \, \text{см}$.

Дано:

Двугранный угол между плоскостями сечений: $\phi = 60^\circ$

Площадь первого сечения: $S_1 = 110 \text{ см}^2$

Площадь второго сечения: $S_2 = 130 \text{ см}^2$

Высота цилиндра: $H = 10 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$S_1 = 110 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.011 \text{ м}^2$

$S_2 = 130 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.013 \text{ м}^2$

$H = 10 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Радиус основания цилиндра: $R$

Решение:

Сечения цилиндра, проходящие через его образующую, являются прямоугольниками. Одна из сторон такого прямоугольника - это высота цилиндра $H$, а другая - хорда основания. Пусть $w_1$ и $w_2$ - длины этих хорд.

Площадь сечения вычисляется как произведение длины хорды на высоту цилиндра:

$S_1 = w_1 \cdot H \implies w_1 = \frac{S_1}{H}$

$w_1 = \frac{110 \text{ см}^2}{10 \text{ см}} = 11 \text{ см}$

$S_2 = w_2 \cdot H \implies w_2 = \frac{S_2}{H}$

$w_2 = \frac{130 \text{ см}^2}{10 \text{ см}} = 13 \text{ см}$

Двугранный угол между плоскостями двух сечений, проходящих через одну образующую, равен углу между соответствующими хордами в основании цилиндра, если эти хорды исходят из одной точки (конца общей образующей на основании).

Рассмотрим треугольник, образованный этими двумя хордами $w_1$ и $w_2$ и отрезком, соединяющим их другие концы. Пусть вершины этого треугольника будут $A$, $B$, $C$, где $AB = w_1$, $AC = w_2$, а угол между ними $\angle BAC = \phi = 60^\circ$. Все три вершины $A, B, C$ лежат на окружности основания цилиндра. Таким образом, радиус основания цилиндра $R$ является радиусом описанной окружности для треугольника $ABC$.

По теореме косинусов найдем длину стороны $BC$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$

$BC^2 = (11 \text{ см})^2 + (13 \text{ см})^2 - 2 \cdot (11 \text{ см}) \cdot (13 \text{ см}) \cdot \cos(60^\circ)$

$BC^2 = 121 \text{ см}^2 + 169 \text{ см}^2 - 2 \cdot 143 \text{ см}^2 \cdot \frac{1}{2}$

$BC^2 = 290 \text{ см}^2 - 143 \text{ см}^2$

$BC^2 = 147 \text{ см}^2$

$BC = \sqrt{147} \text{ см} = \sqrt{49 \cdot 3} \text{ см} = 7\sqrt{3} \text{ см}$

По теореме синусов, радиус описанной окружности $R$ для треугольника $ABC$ вычисляется по формуле:

$2R = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}$

$R = \frac{BC}{2 \sin(\angle BAC)}$

$R = \frac{7\sqrt{3} \text{ см}}{2 \sin(60^\circ)}$

$R = \frac{7\sqrt{3} \text{ см}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}$

$R = \frac{7\sqrt{3} \text{ см}}{\sqrt{3}}$

$R = 7 \text{ см}$

Ответ: 7 см