Номер 305, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

осевого сечения цилиндра.

305. a) Найдите наибольшее расстояние между двумя точками поверхности цилиндра, радиус основания которого равен 6 см, а высота – 5 см.

б) Дан цилиндр, радиус основания которого равен $r$, а образующая – $l$. Найдите наименьший угол между плоскостью его основания и прямой, проходящей через две точки окружностей его оснований.

а) Найдите наибольшее расстояние между двумя точками поверхности цилиндра, радиус основания которого равен 6 см, а высота – 5 см.

Дано:

радиус основания $R = 6 \text{ см}$

высота $H = 5 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$R = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$H = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

наибольшее расстояние $D$

Решение:

Наибольшее расстояние между двумя точками на поверхности цилиндра – это длина отрезка, соединяющего две диаметрально противоположные точки на разных основаниях. Этот отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются диаметр основания цилиндра ($2R$) и его высота ($H$).

Воспользуемся теоремой Пифагора:

$D = \sqrt{(2R)^2 + H^2}$

Подставим известные значения:

$D = \sqrt{(2 \cdot 6 \text{ см})^2 + (5 \text{ см})^2}$

$D = \sqrt{(12 \text{ см})^2 + (5 \text{ см})^2}$

$D = \sqrt{144 \text{ см}^2 + 25 \text{ см}^2}$

$D = \sqrt{169 \text{ см}^2}$

$D = 13 \text{ см}$

Ответ: $13 \text{ см}$

б) Дан цилиндр, радиус основания которого равен $r$, а образующая – $l$. Найдите наименьший угол между плоскостью его основания и прямой, проходящей через две точки окружностей его оснований.

Дано:

радиус основания $r$

образующая $l$ (высота цилиндра)

Найти:

наименьший угол $\alpha_{min}$

Решение:

Пусть $P_1$ – точка на окружности верхнего основания, а $P_2$ – точка на окружности нижнего основания. Высота цилиндра равна образующей $l$. Обозначим ее $H = l$.

Пусть $P_1'$ – проекция точки $P_1$ на плоскость нижнего основания. Тогда $P_1'$ лежит на окружности нижнего основания.

Прямая $P_1P_2$ образует угол $\alpha$ с плоскостью нижнего основания. Этот угол определяется как угол между прямой $P_1P_2$ и ее проекцией $P_1'P_2$ на эту плоскость.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $P_1P_1'P_2$, где $P_1P_1'$ – это высота цилиндра, $P_1'P_2$ – отрезок, лежащий в плоскости нижнего основания, а $P_1P_2$ – гипотенуза.

Катет $P_1P_1'$ равен высоте цилиндра $H = l$.

Катет $P_1'P_2$ – это отрезок, соединяющий две точки ($P_1'$ и $P_2$) на окружности нижнего основания.

Угол $\alpha$ между прямой $P_1P_2$ и плоскостью основания – это угол $\angle P_1P_2P_1'$.

Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan \alpha = \frac{P_1P_1'}{P_1'P_2} = \frac{l}{P_1'P_2}$

Чтобы угол $\alpha$ был наименьшим, значение $\tan \alpha$ также должно быть наименьшим. Это достигается, когда знаменатель дроби $P_1'P_2$ максимально возможный.

Точки $P_1'$ и $P_2$ лежат на окружности нижнего основания с радиусом $r$. Наибольшее расстояние между двумя точками на окружности – это ее диаметр.

Следовательно, максимальное значение $P_1'P_2 = 2r$.

Подставим это максимальное значение в формулу для тангенса наименьшего угла:

$\tan \alpha_{min} = \frac{l}{2r}$

Тогда наименьший угол $\alpha_{min}$ равен арктангенсу этого значения:

$\alpha_{min} = \arctan\left(\frac{l}{2r}\right)$

Ответ: $\arctan\left(\frac{l}{2r}\right)$