Номер 306, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

306. Даны куб с ребром 4 дм и цилиндр с радиусом основания $r$ ($r$ — переменная величина). Ось цилиндра проходит через центры двух противоположных граней куба. Для каждого значения $r$ укажите число образующих цилиндра, лежащих на гранях куба.

Дано:

Куб с ребром $a = 4 \text{ дм}$

Цилиндр с радиусом основания $r$ (переменная величина)

Ось цилиндра проходит через центры двух противоположных граней куба.

Перевод в систему СИ:

$a = 4 \text{ дм} = 0.4 \text{ м}$

Найти:

Число образующих цилиндра, лежащих на гранях куба, для каждого значения $r$.

Решение:

Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы его центр совпадал с началом координат, а грани были параллельны координатным плоскостям. Тогда координаты вершин куба будут $(\pm a/2, \pm a/2, \pm a/2)$.

Ось цилиндра проходит через центры двух противоположных граней. Пусть это будут верхняя и нижняя грани. Тогда ось цилиндра совпадает с осью $Oz$. Высота цилиндра $H$ будет равна ребру куба, то есть $H=a$.

Поверхность цилиндра описывается уравнением $x^2 + y^2 = r^2$. Образующие цилиндра - это прямые, параллельные оси $Oz$, проходящие через точки окружности основания $(x_0, y_0)$ такие, что $x_0^2 + y_0^2 = r^2$. Эти образующие представляют собой отрезки прямых вида $(x_0, y_0, z)$ для $z \in [-a/2, a/2]$.

Грани куба - это плоскости $x=\pm a/2$, $y=\pm a/2$, $z=\pm a/2$.

Образующие параллельны оси $Oz$. Следовательно, они не могут лежать на верхней или нижней гранях ($z=\pm a/2$), так как эти грани перпендикулярны образующим. Образующие могут лежать только на боковых гранях куба (плоскостях $x=\pm a/2$ и $y=\pm a/2$).

Для того чтобы образующая $(x_0, y_0, z)$, где $x_0^2 + y_0^2 = r^2$ и $z \in [-a/2, a/2]$, лежала на одной из граней куба, ее проекция $(x_0, y_0)$ на плоскость $Oxy$ должна лежать на границе квадрата, образованного проекциями боковых граней куба (то есть внутри квадрата $[-a/2, a/2] \times [-a/2, a/2]$), и при этом сама образующая должна находиться в пределах этой грани. Например, если образующая лежит на грани $x=a/2$, то $x_0=a/2$ и $-a/2 \le y_0 \le a/2$. Аналогичные условия применяются для других боковых граней.

Подставим значение ребра куба $a=4 \text{ дм}$. Тогда $a/2 = 2 \text{ дм}$ и диагональ проекции грани на плоскость $Oxy$ равна $a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \text{ дм}$. Соответственно, радиус окружности, проходящей через вершины квадрата, будет $a\sqrt{2}/2 = 2\sqrt{2} \text{ дм}$.

1. Случай $0 \le r \le 2 \text{ дм}$ ($0 \le r \le a/2$):

В этом случае окружность основания цилиндра $x^2+y^2=r^2$ полностью находится внутри квадрата $[-a/2, a/2] \times [-a/2, a/2]$. Это означает, что $r \le a/2$. Ни одна точка окружности не лежит на линиях $x=\pm a/2$ или $y=\pm a/2$. Следовательно, ни одна образующая цилиндра не лежит на гранях куба.

Ответ: 0

2. Случай $2 \text{ дм} < r < 2\sqrt{2} \text{ дм}$ ($a/2 < r < a\sqrt{2}/2$):

В этом случае окружность $x^2+y^2=r^2$ пересекает каждую из четырех линий $x=\pm a/2, y=\pm a/2$ в двух различных точках.

Например, для линии $x=a/2$, подставляя в уравнение окружности, получаем $(a/2)^2 + y^2 = r^2$, откуда $y = \pm \sqrt{r^2 - (a/2)^2}$.

Поскольку $a/2 < r < a\sqrt{2}/2$, то $r^2 - (a/2)^2$ находится в диапазоне $0 < r^2 - (a/2)^2 < (a/2)^2$. Следовательно, $0 < \sqrt{r^2 - (a/2)^2} < a/2$. Это означает, что значения $y$ находятся в пределах $[-a/2, a/2]$.

Таким образом, на каждой из четырех боковых граней ($x=\pm a/2$ и $y=\pm a/2$) имеется по две образующие, которые полностью лежат на этих гранях. Все эти $2 \times 4 = 8$ образующих различны, так как они не проходят через вершины квадрата ($y \ne \pm a/2$ и $x \ne \pm a/2$).

Ответ: 8

3. Случай $r = 2\sqrt{2} \text{ дм}$ ($r = a\sqrt{2}/2$):

В этом случае $r^2 = 2(a/2)^2$. Подставляя $x=a/2$ в $x^2+y^2=r^2$, получаем $(a/2)^2 + y^2 = 2(a/2)^2$, откуда $y^2 = (a/2)^2$, то есть $y = \pm a/2$.

Это означает, что окружность основания проходит через четыре угловые точки квадрата: $(\pm a/2, \pm a/2)$.

Каждая из этих четырех точек (например, $(a/2, a/2)$) соответствует образующей, которая является ребром куба (вертикальным ребром). Эта образующая лежит одновременно на двух смежных гранях (например, на грани $x=a/2$ и на грани $y=a/2$). Поскольку образующие - это линии, каждая из этих 4 образующих (ребер куба) считается один раз. Все 4 образующие являются уникальными.

Ответ: 4

4. Случай $r > 2\sqrt{2} \text{ дм}$ ($r > a\sqrt{2}/2$):

В этом случае, если мы подставим, например, $x=a/2$ в $x^2+y^2=r^2$, то получим $y = \pm \sqrt{r^2 - (a/2)^2}$.

Поскольку $r > a\sqrt{2}/2$, то $r^2 > 2(a/2)^2$. Следовательно, $r^2 - (a/2)^2 > (a/2)^2$. Это означает, что $\sqrt{r^2 - (a/2)^2} > a/2$. То есть, $|y| > a/2$.

Это значит, что любая образующая, проходящая через плоскость $x=\pm a/2$ или $y=\pm a/2$, имеет координату по $y$ (или по $x$) по модулю больше $a/2$. Таким образом, такие образующие не лежат полностью на соответствующих гранях куба (они "протыкают" грани, но не находятся целиком в их пределах).

Поэтому ни одна образующая не лежит на гранях куба.

Ответ: 0