Номер 301, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

12. Цилиндр и его элементы. Сечение цилиндра плоскостью. III. Тела вращения и их элементы - номер 301, страница 93.

Условие.

301. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу, равную $120^\circ$, и удалена от оси на расстояние $d$. Диагональ полученного сечения равна $4d$. Найдите высоту и радиус основания цилиндра.

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано:

Угол дуги, отсекаемой плоскостью от окружности основания: $\alpha = 120^\circ$

Расстояние от оси цилиндра до плоскости: $d$

Длина диагонали полученного сечения: $D_{сеч} = 4d$

Перевод в СИ:

Угол $\alpha = 120^\circ = \frac{2\pi}{3}$ радиан

Расстояние $d$ (в метрах)

Диагональ $D_{сеч} = 4d$ (в метрах)

Найти:

Высота цилиндра: $H$

Радиус основания цилиндра: $R$

Решение:

Радиус основания цилиндра

Рассмотрим сечение основания цилиндра. Плоскость, параллельная оси цилиндра, пересекает основание по хорде. Расстояние от оси цилиндра (центра окружности основания) до этой хорды равно $d$. Хорда стягивает дугу в $120^\circ$, что означает, что центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен $120^\circ$.

Соединим концы хорды с центром окружности. Получим равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными радиусу основания $R$, и углом при вершине $120^\circ$. Высота этого треугольника, проведенная из центра к хорде, равна $d$ и делит центральный угол пополам, то есть на два угла по $60^\circ$. Она также делит хорду пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $R$, расстоянием $d$ и половиной хорды ($L_{хорды}/2$). В этом треугольнике угол между радиусом и расстоянием $d$ равен $60^\circ$ (половина центрального угла).

Из этого прямоугольного треугольника имеем: $d = R \cos(60^\circ)$.

Подставим значение $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$:

$d = R \cdot \frac{1}{2}$

Отсюда находим радиус $R$:

$R = 2d$

Ответ: $R = 2d$

Высота цилиндра

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника — это хорда основания, а другая сторона — высота цилиндра $H$.

Длину хорды $L_{хорды}$ можно найти из того же прямоугольного треугольника, который мы использовали выше. Половина хорды равна $R \sin(60^\circ)$.

$L_{хорды}/2 = R \sin(60^\circ)$

Подставим найденное значение радиуса $R = 2d$ и $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$L_{хорды}/2 = 2d \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$L_{хорды}/2 = d\sqrt{3}$

Тогда длина хорды $L_{хорды} = 2d\sqrt{3}$.

Диагональ прямоугольного сечения $D_{сеч}$ связана со сторонами (хордой $L_{хорды}$ и высотой $H$) по теореме Пифагора:

$D_{сеч}^2 = L_{хорды}^2 + H^2$

По условию задачи, $D_{сеч} = 4d$. Подставим известные значения:

$(4d)^2 = (2d\sqrt{3})^2 + H^2$

$16d^2 = (4d^2 \cdot 3) + H^2$

$16d^2 = 12d^2 + H^2$

Выразим $H^2$:

$H^2 = 16d^2 - 12d^2$

$H^2 = 4d^2$

Так как высота должна быть положительной:

$H = \sqrt{4d^2}$

$H = 2d$

Ответ: $H = 2d$