Номер 297, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

297. Найдите высоту цилиндра, в котором диагональ сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 дм от нее, в два раза длиннее радиуса основания.

Дано:

Расстояние от оси цилиндра до сечения: $d = 4$ дм

Диагональ сечения: $D_{сеч} = 2R$, где $R$ — радиус основания цилиндра.

Перевод в СИ:

$d = 4$ дм $= 0.4$ м

Найти:

Высота цилиндра $H$

Решение:

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

Сечение, проведенное параллельно оси цилиндра, является прямоугольником. Одна из сторон этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$. Другая сторона — это хорда основания цилиндра. Обозначим длину этой хорды как $c$.

Расстояние от оси цилиндра до сечения $d$ — это расстояние от центра основания до хорды $c$. Это расстояние перпендикулярно хорде и делит ее пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания $R$, расстоянием $d$ и половиной хорды $c/2$. По теореме Пифагора имеем:

$R^2 = d^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2$

Выразим половину хорды из этого уравнения:

$\left(\frac{c}{2}\right)^2 = R^2 - d^2$

Отсюда длина хорды $c$ равна:

$c = 2 \sqrt{R^2 - d^2}$

Диагональ сечения $D_{сеч}$ образует прямоугольный треугольник со сторонами $H$ (высота цилиндра) и $c$ (длина хорды). По теореме Пифагора для этого прямоугольника:

$D_{сеч}^2 = H^2 + c^2$

По условию задачи, диагональ сечения в два раза длиннее радиуса основания: $D_{сеч} = 2R$.

Подставим выражение для $D_{сеч}$ и выражение для $c$ в уравнение диагонали:

$(2R)^2 = H^2 + (2 \sqrt{R^2 - d^2})^2$

Возведем в квадрат обе части:

$4R^2 = H^2 + 4(R^2 - d^2)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$4R^2 = H^2 + 4R^2 - 4d^2$

Вычтем $4R^2$ из обеих частей уравнения:

$0 = H^2 - 4d^2$

Выразим $H^2$:

$H^2 = 4d^2$

Извлечем квадратный корень, учитывая, что высота должна быть положительной:

$H = \sqrt{4d^2}$

$H = 2d$

Теперь подставим заданное значение $d = 4$ дм:

$H = 2 \times 4$ дм

$H = 8$ дм

Ответ:

$8$ дм