Номер 290, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

12. Цилиндр и его элементы. Сечение цилиндра плоскостью. III. Тела вращения и их элементы - номер 290, страница 92.

Условие.

290. a) Радиус основания цилиндра равен 2,6 см, а образующая – 4,8 см. На каком расстоянии от оси цилиндра находится его сечение – квадрат, параллельное оси?

б) Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, является квадратом, площадь которого равна 144 см$^\text{2}$, и удалено от оси на 8 см. Найдите радиус основания цилиндра.

Решение.

Решение 2 (rus).

a)

Дано:

Радиус основания цилиндра $R = 2.6 \text{ см}$

Образующая цилиндра (высота) $H = 4.8 \text{ см}$

Сечение - квадрат, параллельное оси цилиндра.

Перевод в СИ:

$R = 2.6 \text{ см} = 0.026 \text{ м}$

$H = 4.8 \text{ см} = 0.048 \text{ м}$

Найти:

Расстояние $d$ от оси цилиндра до сечения.

Решение:

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, представляет собой прямоугольник. Если сечение — квадрат, то его стороны равны. Одна из сторон квадрата равна образующей (высоте) цилиндра, поскольку плоскость сечения параллельна оси. Таким образом, сторона квадрата $a = H = 4.8 \text{ см}$.

Другая сторона квадрата - это хорда основания цилиндра. Поскольку сечение является квадратом, длина этой хорды также равна $b = a = 4.8 \text{ см}$.

Рассмотрим основание цилиндра, которое представляет собой круг радиусом $R$. Хорда длиной $b$ находится на расстоянии $d$ от центра круга (проекции оси цилиндра на основание). В равнобедренном треугольнике, образованном двумя радиусами и хордой, высота, опущенная из центра к хорде, является искомым расстоянием $d$ и делит хорду пополам. Применяем теорему Пифагора:

$R^2 = d^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2$

Выразим $d$:

$d^2 = R^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$

$d = \sqrt{R^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$

Подставим известные значения:

$d = \sqrt{(2.6 \text{ см})^2 - \left(\frac{4.8 \text{ см}}{2}\right)^2}$

$d = \sqrt{(2.6 \text{ см})^2 - (2.4 \text{ см})^2}$

$d = \sqrt{6.76 \text{ см}^2 - 5.76 \text{ см}^2}$

$d = \sqrt{1 \text{ см}^2}$

$d = 1 \text{ см}$

Ответ: 1 см.

б)

Дано:

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, является квадратом.

Площадь квадрата $S = 144 \text{ см}^2$

Расстояние от оси до сечения $d = 8 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$S = 144 \text{ см}^2 = 0.0144 \text{ м}^2$

$d = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Радиус основания цилиндра $R$.

Решение:

Пусть сторона квадрата $a$. Площадь квадрата $S = a^2$. Тогда длина стороны квадрата $a = \sqrt{S}$.

$a = \sqrt{144 \text{ см}^2} = 12 \text{ см}$.

Одна сторона этого квадрата равна образующей (высоте) цилиндра $H$, так как сечение параллельно оси. Таким образом, $H = 12 \text{ см}$.

Другая сторона квадрата - это хорда основания цилиндра. Поскольку сечение является квадратом, длина этой хорды также равна $b = a = 12 \text{ см}$.

Рассмотрим основание цилиндра, которое представляет собой круг радиусом $R$. Хорда длиной $b$ находится на расстоянии $d$ от центра круга (проекции оси цилиндра на основание). В равнобедренном треугольнике, образованном двумя радиусами и хордой, высота, опущенная из центра к хорде, равна расстоянию $d$ и делит хорду пополам. Применяем теорему Пифагора:

$R^2 = d^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2$

Выразим $R$:

$R = \sqrt{d^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2}$

Подставим известные значения:

$R = \sqrt{(8 \text{ см})^2 + \left(\frac{12 \text{ см}}{2}\right)^2}$

$R = \sqrt{(8 \text{ см})^2 + (6 \text{ см})^2}$

$R = \sqrt{64 \text{ см}^2 + 36 \text{ см}^2}$

$R = \sqrt{100 \text{ см}^2}$

$R = 10 \text{ см}$

Ответ: 10 см.