Номер 288, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

288. Верно ли, что:

а) если отрезок с концами на боковой поверхности цилиндра пересекает его ось, то он делится этой осью пополам;

б) если все вершины прямоугольника принадлежат боковой поверхности цилиндра, то две из его противоположных сторон перпендикулярны оси этого цилиндра?

а) если отрезок с концами на боковой поверхности цилиндра пересекает его ось, то он делится этой осью пополам

Дано:
Цилиндр с осью $L$.
Отрезок $AB$ с концами $A$ и $B$ на боковой поверхности цилиндра.
Отрезок $AB$ пересекает ось $L$ в точке $M$.

Найти:
Верно ли, что точка $M$ делит отрезок $AB$ пополам (т.е. $AM = MB$)?

Решение:
Пусть ось цилиндра совпадает с осью $Oz$ декартовой системы координат. Боковая поверхность цилиндра задается уравнением $x^2 + y^2 = R^2$, где $R$ — радиус цилиндра.
Пусть точки $A$ и $B$ имеют координаты $A(x_A, y_A, z_A)$ и $B(x_B, y_B, z_B)$.
Поскольку $A$ и $B$ лежат на боковой поверхности, $x_A^2 + y_A^2 = R^2$ и $x_B^2 + y_B^2 = R^2$.
Ось цилиндра $L$ — это ось $Oz$, то есть множество точек с координатами $(0, 0, z)$.
Отрезок $AB$ пересекает ось $L$ в точке $M(0, 0, z_M)$.
Точка $M$ лежит на отрезке $AB$, поэтому ее координаты могут быть представлены как линейная комбинация координат $A$ и $B$:
$M = (1-t)A + tB$, для некоторого $t \in [0, 1]$.
Координаты точки $M$:
$(0, 0, z_M) = ((1-t)x_A + tx_B, (1-t)y_A + ty_B, (1-t)z_A + tz_B)$.
Из равенства x- и y-координат:
$(1-t)x_A + tx_B = 0 \quad (1)$
$(1-t)y_A + ty_B = 0 \quad (2)$
Из (1) следует $tx_B = -(1-t)x_A$.
Из (2) следует $ty_B = -(1-t)y_A$.
Возведем оба уравнения в квадрат и сложим:
$t^2x_B^2 + t^2y_B^2 = (1-t)^2x_A^2 + (1-t)^2y_A^2$
$t^2(x_B^2 + y_B^2) = (1-t)^2(x_A^2 + y_A^2)$
Поскольку $A$ и $B$ на боковой поверхности, $x_A^2 + y_A^2 = R^2$ и $x_B^2 + y_B^2 = R^2$. Подставим это:
$t^2 R^2 = (1-t)^2 R^2$
Так как $R \ne 0$ (иначе это не цилиндр), можно сократить на $R^2$:
$t^2 = (1-t)^2$
Из этого уравнения следует $t = 1-t$ или $t = -(1-t)$.
Случай 1: $t = 1-t \implies 2t = 1 \implies t = 1/2$.
Случай 2: $t = -1+t \implies 0 = -1$, что невозможно.
Таким образом, единственное возможное значение для $t$ — это $1/2$.
Когда $t=1/2$, точка $M$ является серединой отрезка $AB$. Следовательно, ось делит отрезок $AB$ пополам.

Ответ: Верно.

б) если все вершины прямоугольника принадлежат боковой поверхности цилиндра, то две из его противоположных сторон перпендикулярны оси этого цилиндра?

Дано:
Цилиндр с осью $L$.
Прямоугольник $ABCD$, все вершины которого $A, B, C, D$ лежат на боковой поверхности цилиндра.

Найти:
Верно ли, что две из его противоположных сторон перпендикулярны оси этого цилиндра?

Решение:
Пусть ось цилиндра совпадает с осью $Oz$. Боковая поверхность цилиндра задается уравнением $x^2 + y^2 = R^2$.
Пусть вершины прямоугольника имеют координаты $A(x_A, y_A, z_A)$, $B(x_B, y_B, z_B)$, $C(x_C, y_C, z_C)$, $D(x_D, y_D, z_D)$.
Так как все вершины лежат на боковой поверхности, для каждой вершины выполняется $x_i^2 + y_i^2 = R^2$.
Рассмотрим проекции вершин прямоугольника на плоскость $Oxy$ (перпендикулярную оси цилиндра). Эти проекции будут $A'(x_A, y_A)$, $B'(x_B, y_B)$, $C'(x_C, y_C)$, $D'(x_D, y_D)$.
Все эти точки $A', B', C', D'$ лежат на окружности $x^2+y^2=R^2$.
Поскольку $A, B, C, D$ образуют прямоугольник, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в середине $M$, которая является центром прямоугольника.
Проекции этих диагоналей $A'C'$ и $B'D'$ на плоскость $Oxy$ также являются диагоналями четырехугольника $A'B'C'D'$.
Так как $A', B', C', D'$ лежат на окружности, и $A,B,C,D$ образуют прямоугольник, то $A'B'C'D'$ также является прямоугольником. Прямоугольник, вписанный в окружность, должен иметь свои диагонали в качестве диаметров этой окружности.
Следовательно, $A'C'$ и $B'D'$ являются диаметрами окружности $x^2+y^2=R^2$.
Это означает, что $A'$ и $C'$ диаметрально противоположны, а $B'$ и $D'$ диаметрально противоположны.
Отсюда следуют соотношения для координат:
$x_C = -x_A$, $y_C = -y_A$
$x_D = -x_B$, $y_D = -y_B$
Центр прямоугольника $M$ имеет координаты $M(\frac{x_A+x_C}{2}, \frac{y_A+y_C}{2}, \frac{z_A+z_C}{2})$.
Подставляя $x_C = -x_A$ и $y_C = -y_A$, получаем:
$M_x = \frac{x_A-x_A}{2} = 0$
$M_y = \frac{y_A-y_A}{2} = 0$
Таким образом, центр прямоугольника $M$ лежит на оси цилиндра $Oz$, т.е. $M=(0,0,z_M)$.
Теперь рассмотрим векторы, образующие смежные стороны прямоугольника, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Эти векторы ортогональны.
$\vec{AB} = (x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A)$
$\vec{AD} = (x_D-x_A, y_D-y_A, z_D-z_A)$
Их скалярное произведение равно нулю: $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0$.
$(x_B-x_A)(x_D-x_A) + (y_B-y_A)(y_D-y_A) + (z_B-z_A)(z_D-z_A) = 0$.
Подставим $x_D = -x_B$ и $y_D = -y_B$:
$(x_B-x_A)(-x_B-x_A) + (y_B-y_A)(-y_B-y_A) + (z_B-z_A)(z_D-z_A) = 0$
$-(x_B^2-x_A^2) - (y_B^2-y_A^2) + (z_B-z_A)(z_D-z_A) = 0$
Поскольку $x_A^2+y_A^2=R^2$ и $x_B^2+y_B^2=R^2$, то $(x_B^2+y_B^2) - (x_A^2+y_A^2) = R^2 - R^2 = 0$.
Следовательно, выражение $-(x_B^2-x_A^2) - (y_B^2-y_A^2)$ преобразуется к $-(x_B^2+y_B^2) + (x_A^2+y_A^2) = -R^2 + R^2 = 0$.
Таким образом, уравнение упрощается до:
$(z_B-z_A)(z_D-z_A) = 0$
Это равенство означает, что либо $z_B-z_A = 0$, либо $z_D-z_A = 0$.
Случай 1: $z_B = z_A$. Это означает, что z-координаты вершин $A$ и $B$ равны. Тогда вектор стороны $\vec{AB} = (x_B-x_A, y_B-y_A, 0)$. Вектор оси цилиндра $\vec{L} = (0,0,1)$. Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{L} = 0$. Следовательно, сторона $AB$ перпендикулярна оси цилиндра. Поскольку $CD$ является противоположной стороной прямоугольника $ABCD$, она параллельна $AB$ и, следовательно, также перпендикулярна оси цилиндра.
Случай 2: $z_D = z_A$. Это означает, что z-координаты вершин $A$ и $D$ равны. Тогда вектор стороны $\vec{AD} = (x_D-x_A, y_D-y_A, 0)$. Аналогично, $\vec{AD} \cdot \vec{L} = 0$. Следовательно, сторона $AD$ перпендикулярна оси цилиндра. Поскольку $BC$ является противоположной стороной прямоугольника $ABCD$, она параллельна $AD$ и, следовательно, также перпендикулярна оси цилиндра.
В обоих случаях две противоположные стороны прямоугольника перпендикулярны оси цилиндра.

Ответ: Верно.