Страница 92 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

285. На рисунке 113 укажите четырехугольник, при вращении которого во-

круг стороны $AB$, получится равносторонний цилиндр:

а)

B $a$ C

$a$

A D

б)

B $\frac{1}{2}a$ C

$a$

A D

в)

B $a$ C

$a$

A D

г)

C $a$ D

$a$

B A

Рисунок 113

Дано:

Представлены четыре четырехугольника (а), (б), (в), (г) на рисунке 113. Необходимо определить, какой из них при вращении вокруг стороны $AB$ образует равносторонний цилиндр.

(Перевод данных в систему СИ не требуется, так как отсутствуют числовые значения с единицами измерения.)

Найти:

Четырехугольник, при вращении которого вокруг стороны $AB$ получится равносторонний цилиндр.

Решение:

Равносторонний цилиндр – это цилиндр, у которого высота $h$ равна диаметру основания $D$. Поскольку диаметр $D$ равен удвоенному радиусу $r$ ($D = 2r$), условие для равностороннего цилиндра можно записать как $h = 2r$.

Цилиндр образуется при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. В этом случае сторона, вокруг которой происходит вращение, становится высотой цилиндра $h$, а перпендикулярная ей сторона, исходящая из той же вершины, становится радиусом основания цилиндра $r$.

Рассмотрим каждый из предложенных вариантов:

а)

На рисунке (а) изображена прямоугольная трапеция $ABCD$. При вращении трапеции вокруг стороны $AB$ (высота $h = AB = a$) не образуется простой цилиндр. Фигура вращения будет представлять собой комбинацию цилиндра и усеченного конуса, так как стороны $AD$ и $BC$ имеют разную длину и не параллельны друг другу.

Ответ: Не подходит.

б)

На рисунке (б) изображен прямоугольник $ABCD$. Сторона вращения $AB$ имеет длину $a$. Таким образом, высота образующегося цилиндра $h = AB = a$.

Сторона $BC$ перпендикулярна стороне $AB$ и имеет длину $\frac{1}{2}a$. Эта сторона будет радиусом основания цилиндра $r = BC = \frac{1}{2}a$.

Проверим условие для равностороннего цилиндра $h = 2r$:

Высота цилиндра: $h = a$

Удвоенный радиус основания: $2r = 2 \times \left(\frac{1}{2}a\right) = a$

Поскольку $h = a$ и $2r = a$, то $h = 2r$. Условие для равностороннего цилиндра выполняется.

Ответ: Подходит.

в)

На рисунке (в) изображен квадрат $ABCD$. Сторона вращения $AB$ имеет длину $a$. Таким образом, высота образующегося цилиндра $h = AB = a$.

Сторона $BC$ перпендикулярна стороне $AB$ и имеет длину $a$ (поскольку это квадрат). Эта сторона будет радиусом основания цилиндра $r = BC = a$.

Проверим условие для равностороннего цилиндра $h = 2r$:

Высота цилиндра: $h = a$

Удвоенный радиус основания: $2r = 2 \times a = 2a$

Поскольку $h = a$ и $2r = 2a$, то $h \neq 2r$ (если $a \neq 0$). Условие не выполняется.

Ответ: Не подходит.

г)

На рисунке (г) изображен параллелограмм $ABCD$. При вращении параллелограмма вокруг стороны $AB$ не образуется простой цилиндр, так как стороны $AD$ и $BC$ не перпендикулярны стороне $AB$ (если только это не прямоугольник, что видно из рисунка). Фигура вращения будет более сложной, чем простой цилиндр.

Ответ: Не подходит.

Из рассмотренных вариантов только четырехугольник под буквой (б) при вращении вокруг стороны $AB$ образует равносторонний цилиндр.

Ответ: четырехугольник под буквой б).

286. Осевые сечения двух цилиндров равны. Можно ли утверждать, что равны и высоты этих цилиндров?

Дано:

Пусть даны два цилиндра. Цилиндр 1 имеет диаметр основания $d_1$ и высоту $h_1$. Цилиндр 2 имеет диаметр основания $d_2$ и высоту $h_2$.

Площадь осевого сечения первого цилиндра $S_1 = d_1 h_1$.

Площадь осевого сечения второго цилиндра $S_2 = d_2 h_2$.

Известно, что осевые сечения равны: $S_1 = S_2$.

Найти:

Можно ли утверждать, что $h_1 = h_2$?

Решение:

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна диаметру основания цилиндра ($d$), а другая сторона — его высоте ($h$).

Таким образом, площадь осевого сечения $S$ выражается формулой: $S = d \cdot h$.

По условию задачи, осевые сечения двух цилиндров равны, то есть $S_1 = S_2$.

Из этого следует, что $d_1 h_1 = d_2 h_2$.

Для того чтобы высоты цилиндров $h_1$ и $h_2$ были равны ($h_1 = h_2$), необходимо, чтобы были равны и их диаметры ($d_1 = d_2$). Однако, в условии задачи не сказано, что диаметры оснований этих цилиндров равны.

Рассмотрим контрпример:

Пусть первый цилиндр имеет диаметр основания $d_1 = 4$ единицы и высоту $h_1 = 3$ единицы. Тогда площадь его осевого сечения $S_1 = 4 \cdot 3 = 12$ квадратных единиц.

Пусть второй цилиндр имеет диаметр основания $d_2 = 2$ единицы и высоту $h_2 = 6$ единиц. Тогда площадь его осевого сечения $S_2 = 2 \cdot 6 = 12$ квадратных единиц.

В этом примере площади осевых сечений двух цилиндров равны ($S_1 = S_2 = 12$), но их высоты не равны ($h_1 = 3$ и $h_2 = 6$).

Следовательно, равенство осевых сечений двух цилиндров не гарантирует равенство их высот.

Ответ: Нет.

287. Какую фигуру образует ось цилиндра, если он катится по плоскости, оставляя след – прямоугольник?

Когда цилиндр катится по плоскости и оставляет след в виде прямоугольника, это означает, что он движется по прямой линии. Ось цилиндра представляет собой отрезок, соединя центры его оснований. Во время качения цилиндра по прямой линии его ось перемещается параллельно самой себе, сохраняя свою ориентацию относительно плоскости. Таким образом, совокупность всех положений, которые занимает ось цилиндра за время его движения, образует плоскую фигуру. Поскольку ось является отрезком и перемещается в направлении, перпендикулярном самой себе (если качение прямолинейное), то фигура, которую она "образует" или "заметает" на плоскости, будет прямоугольником. Одна сторона этого прямоугольника будет равна длине (высоте) цилиндра, а другая сторона — расстоянию, на которое прокатился цилиндр.

Ответ: Прямоугольник

288. Верно ли, что:

а) если отрезок с концами на боковой поверхности цилиндра пересекает его ось, то он делится этой осью пополам;

б) если все вершины прямоугольника принадлежат боковой поверхности цилиндра, то две из его противоположных сторон перпендикулярны оси этого цилиндра?

а) если отрезок с концами на боковой поверхности цилиндра пересекает его ось, то он делится этой осью пополам

Дано:
Цилиндр с осью $L$.
Отрезок $AB$ с концами $A$ и $B$ на боковой поверхности цилиндра.
Отрезок $AB$ пересекает ось $L$ в точке $M$.

Найти:
Верно ли, что точка $M$ делит отрезок $AB$ пополам (т.е. $AM = MB$)?

Решение:
Пусть ось цилиндра совпадает с осью $Oz$ декартовой системы координат. Боковая поверхность цилиндра задается уравнением $x^2 + y^2 = R^2$, где $R$ — радиус цилиндра.
Пусть точки $A$ и $B$ имеют координаты $A(x_A, y_A, z_A)$ и $B(x_B, y_B, z_B)$.
Поскольку $A$ и $B$ лежат на боковой поверхности, $x_A^2 + y_A^2 = R^2$ и $x_B^2 + y_B^2 = R^2$.
Ось цилиндра $L$ — это ось $Oz$, то есть множество точек с координатами $(0, 0, z)$.
Отрезок $AB$ пересекает ось $L$ в точке $M(0, 0, z_M)$.
Точка $M$ лежит на отрезке $AB$, поэтому ее координаты могут быть представлены как линейная комбинация координат $A$ и $B$:
$M = (1-t)A + tB$, для некоторого $t \in [0, 1]$.
Координаты точки $M$:
$(0, 0, z_M) = ((1-t)x_A + tx_B, (1-t)y_A + ty_B, (1-t)z_A + tz_B)$.
Из равенства x- и y-координат:
$(1-t)x_A + tx_B = 0 \quad (1)$
$(1-t)y_A + ty_B = 0 \quad (2)$
Из (1) следует $tx_B = -(1-t)x_A$.
Из (2) следует $ty_B = -(1-t)y_A$.
Возведем оба уравнения в квадрат и сложим:
$t^2x_B^2 + t^2y_B^2 = (1-t)^2x_A^2 + (1-t)^2y_A^2$
$t^2(x_B^2 + y_B^2) = (1-t)^2(x_A^2 + y_A^2)$
Поскольку $A$ и $B$ на боковой поверхности, $x_A^2 + y_A^2 = R^2$ и $x_B^2 + y_B^2 = R^2$. Подставим это:
$t^2 R^2 = (1-t)^2 R^2$
Так как $R \ne 0$ (иначе это не цилиндр), можно сократить на $R^2$:
$t^2 = (1-t)^2$
Из этого уравнения следует $t = 1-t$ или $t = -(1-t)$.
Случай 1: $t = 1-t \implies 2t = 1 \implies t = 1/2$.
Случай 2: $t = -1+t \implies 0 = -1$, что невозможно.
Таким образом, единственное возможное значение для $t$ — это $1/2$.
Когда $t=1/2$, точка $M$ является серединой отрезка $AB$. Следовательно, ось делит отрезок $AB$ пополам.

Ответ: Верно.

б) если все вершины прямоугольника принадлежат боковой поверхности цилиндра, то две из его противоположных сторон перпендикулярны оси этого цилиндра?

Дано:
Цилиндр с осью $L$.
Прямоугольник $ABCD$, все вершины которого $A, B, C, D$ лежат на боковой поверхности цилиндра.

Найти:
Верно ли, что две из его противоположных сторон перпендикулярны оси этого цилиндра?

Решение:
Пусть ось цилиндра совпадает с осью $Oz$. Боковая поверхность цилиндра задается уравнением $x^2 + y^2 = R^2$.
Пусть вершины прямоугольника имеют координаты $A(x_A, y_A, z_A)$, $B(x_B, y_B, z_B)$, $C(x_C, y_C, z_C)$, $D(x_D, y_D, z_D)$.
Так как все вершины лежат на боковой поверхности, для каждой вершины выполняется $x_i^2 + y_i^2 = R^2$.
Рассмотрим проекции вершин прямоугольника на плоскость $Oxy$ (перпендикулярную оси цилиндра). Эти проекции будут $A'(x_A, y_A)$, $B'(x_B, y_B)$, $C'(x_C, y_C)$, $D'(x_D, y_D)$.
Все эти точки $A', B', C', D'$ лежат на окружности $x^2+y^2=R^2$.
Поскольку $A, B, C, D$ образуют прямоугольник, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в середине $M$, которая является центром прямоугольника.
Проекции этих диагоналей $A'C'$ и $B'D'$ на плоскость $Oxy$ также являются диагоналями четырехугольника $A'B'C'D'$.
Так как $A', B', C', D'$ лежат на окружности, и $A,B,C,D$ образуют прямоугольник, то $A'B'C'D'$ также является прямоугольником. Прямоугольник, вписанный в окружность, должен иметь свои диагонали в качестве диаметров этой окружности.
Следовательно, $A'C'$ и $B'D'$ являются диаметрами окружности $x^2+y^2=R^2$.
Это означает, что $A'$ и $C'$ диаметрально противоположны, а $B'$ и $D'$ диаметрально противоположны.
Отсюда следуют соотношения для координат:
$x_C = -x_A$, $y_C = -y_A$
$x_D = -x_B$, $y_D = -y_B$
Центр прямоугольника $M$ имеет координаты $M(\frac{x_A+x_C}{2}, \frac{y_A+y_C}{2}, \frac{z_A+z_C}{2})$.
Подставляя $x_C = -x_A$ и $y_C = -y_A$, получаем:
$M_x = \frac{x_A-x_A}{2} = 0$
$M_y = \frac{y_A-y_A}{2} = 0$
Таким образом, центр прямоугольника $M$ лежит на оси цилиндра $Oz$, т.е. $M=(0,0,z_M)$.
Теперь рассмотрим векторы, образующие смежные стороны прямоугольника, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Эти векторы ортогональны.
$\vec{AB} = (x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A)$
$\vec{AD} = (x_D-x_A, y_D-y_A, z_D-z_A)$
Их скалярное произведение равно нулю: $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0$.
$(x_B-x_A)(x_D-x_A) + (y_B-y_A)(y_D-y_A) + (z_B-z_A)(z_D-z_A) = 0$.
Подставим $x_D = -x_B$ и $y_D = -y_B$:
$(x_B-x_A)(-x_B-x_A) + (y_B-y_A)(-y_B-y_A) + (z_B-z_A)(z_D-z_A) = 0$
$-(x_B^2-x_A^2) - (y_B^2-y_A^2) + (z_B-z_A)(z_D-z_A) = 0$
Поскольку $x_A^2+y_A^2=R^2$ и $x_B^2+y_B^2=R^2$, то $(x_B^2+y_B^2) - (x_A^2+y_A^2) = R^2 - R^2 = 0$.
Следовательно, выражение $-(x_B^2-x_A^2) - (y_B^2-y_A^2)$ преобразуется к $-(x_B^2+y_B^2) + (x_A^2+y_A^2) = -R^2 + R^2 = 0$.
Таким образом, уравнение упрощается до:
$(z_B-z_A)(z_D-z_A) = 0$
Это равенство означает, что либо $z_B-z_A = 0$, либо $z_D-z_A = 0$.
Случай 1: $z_B = z_A$. Это означает, что z-координаты вершин $A$ и $B$ равны. Тогда вектор стороны $\vec{AB} = (x_B-x_A, y_B-y_A, 0)$. Вектор оси цилиндра $\vec{L} = (0,0,1)$. Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{L} = 0$. Следовательно, сторона $AB$ перпендикулярна оси цилиндра. Поскольку $CD$ является противоположной стороной прямоугольника $ABCD$, она параллельна $AB$ и, следовательно, также перпендикулярна оси цилиндра.
Случай 2: $z_D = z_A$. Это означает, что z-координаты вершин $A$ и $D$ равны. Тогда вектор стороны $\vec{AD} = (x_D-x_A, y_D-y_A, 0)$. Аналогично, $\vec{AD} \cdot \vec{L} = 0$. Следовательно, сторона $AD$ перпендикулярна оси цилиндра. Поскольку $BC$ является противоположной стороной прямоугольника $ABCD$, она параллельна $AD$ и, следовательно, также перпендикулярна оси цилиндра.
В обоих случаях две противоположные стороны прямоугольника перпендикулярны оси цилиндра.

Ответ: Верно.

289. a) Диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра равна $16\sqrt{2}$ см. Чему равен радиус основания цилиндра?

б) Найдите высоту цилиндра, если диагональ его осевого сечения составляет с образующей цилиндра угол $30^\circ$, а диаметр его основания равен $4\sqrt{3}$ см.

a)

Дано:

Цилиндр равносторонний

Диагональ осевого сечения $d = 16\sqrt{2}$ см

Перевод в СИ:

$d = 16\sqrt{2}$ см $= 0.16\sqrt{2}$ м

Найти:

Радиус основания цилиндра $R$

Решение:

Осевое сечение равностороннего цилиндра представляет собой квадрат. В равностороннем цилиндре высота $H$ равна диаметру основания $D$.

$H = D$

Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. В нашем случае сторона квадрата — это высота $H$ (или диаметр $D$).

Следовательно, $d = H\sqrt{2}$.

Нам дано $d = 16\sqrt{2}$ см.

Тогда $H\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$ см.

Отсюда $H = 16$ см.

Так как цилиндр равносторонний, $D = H = 16$ см.

Радиус основания $R$ равен половине диаметра $D$:

$R = D / 2$

$R = 16 / 2$ см

$R = 8$ см

Ответ: 8 см

б)

Дано:

Осевое сечение цилиндра

Угол между диагональю осевого сечения и образующей $\alpha = 30^\circ$

Диаметр основания $D = 4\sqrt{3}$ см

Перевод в СИ:

$D = 4\sqrt{3}$ см $= 0.04\sqrt{3}$ м

$\alpha = 30^\circ$

Найти:

Высота цилиндра $H$

Решение:

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, сторонами которого являются высота цилиндра $H$ (образующая) и диаметр основания $D$. Диагональ осевого сечения, высота $H$ и диаметр $D$ образуют прямоугольный треугольник.

Угол между диагональю и образующей (высотой) равен $30^\circ$. В этом прямоугольном треугольнике:

Катет, прилежащий к углу $30^\circ$, равен высоте $H$.

Катет, противолежащий углу $30^\circ$, равен диаметру $D$.

Используем тригонометрическое соотношение тангенса:

$\tan(\alpha) = \text{противолежащий катет} / \text{прилежащий катет}$

$\tan(30^\circ) = D / H$

Мы знаем, что $\tan(30^\circ) = 1/\sqrt{3}$.

Подставляем известные значения:

$1/\sqrt{3} = (4\sqrt{3}) / H$

Для того чтобы найти $H$, выразим его из уравнения:

$H = (4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}$

$H = 4 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})$

$H = 4 \cdot 3$

$H = 12$ см

Ответ: 12 см

290. a) Радиус основания цилиндра равен 2,6 см, а образующая – 4,8 см. На каком расстоянии от оси цилиндра находится его сечение – квадрат, параллельное оси?

б) Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, является квадратом, площадь которого равна 144 см$^\text{2}$, и удалено от оси на 8 см. Найдите радиус основания цилиндра.

a)

Дано:

Радиус основания цилиндра $R = 2.6 \text{ см}$

Образующая цилиндра (высота) $H = 4.8 \text{ см}$

Сечение - квадрат, параллельное оси цилиндра.

Перевод в СИ:

$R = 2.6 \text{ см} = 0.026 \text{ м}$

$H = 4.8 \text{ см} = 0.048 \text{ м}$

Найти:

Расстояние $d$ от оси цилиндра до сечения.

Решение:

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, представляет собой прямоугольник. Если сечение — квадрат, то его стороны равны. Одна из сторон квадрата равна образующей (высоте) цилиндра, поскольку плоскость сечения параллельна оси. Таким образом, сторона квадрата $a = H = 4.8 \text{ см}$.

Другая сторона квадрата - это хорда основания цилиндра. Поскольку сечение является квадратом, длина этой хорды также равна $b = a = 4.8 \text{ см}$.

Рассмотрим основание цилиндра, которое представляет собой круг радиусом $R$. Хорда длиной $b$ находится на расстоянии $d$ от центра круга (проекции оси цилиндра на основание). В равнобедренном треугольнике, образованном двумя радиусами и хордой, высота, опущенная из центра к хорде, является искомым расстоянием $d$ и делит хорду пополам. Применяем теорему Пифагора:

$R^2 = d^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2$

Выразим $d$:

$d^2 = R^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$

$d = \sqrt{R^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$

Подставим известные значения:

$d = \sqrt{(2.6 \text{ см})^2 - \left(\frac{4.8 \text{ см}}{2}\right)^2}$

$d = \sqrt{(2.6 \text{ см})^2 - (2.4 \text{ см})^2}$

$d = \sqrt{6.76 \text{ см}^2 - 5.76 \text{ см}^2}$

$d = \sqrt{1 \text{ см}^2}$

$d = 1 \text{ см}$

Ответ: 1 см.

б)

Дано:

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, является квадратом.

Площадь квадрата $S = 144 \text{ см}^2$

Расстояние от оси до сечения $d = 8 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$S = 144 \text{ см}^2 = 0.0144 \text{ м}^2$

$d = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Радиус основания цилиндра $R$.

Решение:

Пусть сторона квадрата $a$. Площадь квадрата $S = a^2$. Тогда длина стороны квадрата $a = \sqrt{S}$.

$a = \sqrt{144 \text{ см}^2} = 12 \text{ см}$.

Одна сторона этого квадрата равна образующей (высоте) цилиндра $H$, так как сечение параллельно оси. Таким образом, $H = 12 \text{ см}$.

Другая сторона квадрата - это хорда основания цилиндра. Поскольку сечение является квадратом, длина этой хорды также равна $b = a = 12 \text{ см}$.

Рассмотрим основание цилиндра, которое представляет собой круг радиусом $R$. Хорда длиной $b$ находится на расстоянии $d$ от центра круга (проекции оси цилиндра на основание). В равнобедренном треугольнике, образованном двумя радиусами и хордой, высота, опущенная из центра к хорде, равна расстоянию $d$ и делит хорду пополам. Применяем теорему Пифагора:

$R^2 = d^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2$

Выразим $R$:

$R = \sqrt{d^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2}$

Подставим известные значения:

$R = \sqrt{(8 \text{ см})^2 + \left(\frac{12 \text{ см}}{2}\right)^2}$

$R = \sqrt{(8 \text{ см})^2 + (6 \text{ см})^2}$

$R = \sqrt{64 \text{ см}^2 + 36 \text{ см}^2}$

$R = \sqrt{100 \text{ см}^2}$

$R = 10 \text{ см}$

Ответ: 10 см.

291. a) Высота цилиндра 20 см, а радиус его основания 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной от нее на 1,4 см.

б) Радиус основания цилиндра 7 см. На расстоянии 3 см от оси цилиндра построено сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси. Площадь сечения равна $320 \text{ см}^2$. Найдите высоту цилиндра.

а)

Дано:

Высота цилиндра $H = 20 \text{ см}$

Радиус основания цилиндра $R = 5 \text{ см}$

Расстояние от оси до плоскости сечения $d = 1.4 \text{ см}$

В СИ:

$H = 0.2 \text{ м}$

$R = 0.05 \text{ м}$

$d = 0.014 \text{ м}$

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$

Решение:

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, представляет собой прямоугольник. Одна из сторон этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$. Вторая сторона $w$ является длиной хорды в основании цилиндра, которая находится на расстоянии $d$ от центра. Радиус основания цилиндра равен $R$.

Используем теорему Пифагора для определения половины длины хорды ($w/2$) в треугольнике, образованном радиусом, расстоянием от центра до хорды и половиной хорды:

$R^2 = d^2 + (w/2)^2$

Выразим $(w/2)^2$:

$(w/2)^2 = R^2 - d^2$

Подставим числовые значения:

$(w/2)^2 = (5 \text{ см})^2 - (1.4 \text{ см})^2$

$(w/2)^2 = 25 \text{ см}^2 - 1.96 \text{ см}^2$

$(w/2)^2 = 23.04 \text{ см}^2$

Найдем $w/2$:

$w/2 = \sqrt{23.04 \text{ см}^2}$

$w/2 = 4.8 \text{ см}$

Найдем $w$:

$w = 2 \times 4.8 \text{ см}$

$w = 9.6 \text{ см}$

Площадь сечения $S_{сеч}$ вычисляется как произведение высоты цилиндра на ширину сечения:

$S_{сеч} = H \times w$

$S_{сеч} = 20 \text{ см} \times 9.6 \text{ см}$

$S_{сеч} = 192 \text{ см}^2$

Ответ: $192 \text{ см}^2$

б)

Дано:

Радиус основания цилиндра $R = 7 \text{ см}$

Расстояние от оси до плоскости сечения $d = 3 \text{ см}$

Площадь сечения $S_{сеч} = 320 \text{ см}^2$

В СИ:

$R = 0.07 \text{ м}$

$d = 0.03 \text{ м}$

$S_{сеч} = 0.032 \text{ м}^2$

Найти:

Высота цилиндра $H$

Решение:

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, является прямоугольником. Его площадь $S_{сеч}$ равна произведению высоты цилиндра $H$ на ширину сечения $w$.

$S_{сеч} = H \times w$

Ширина сечения $w$ является длиной хорды в основании цилиндра, которая находится на расстоянии $d$ от центра. Радиус основания цилиндра равен $R$.

Используем теорему Пифагора для определения половины длины хорды ($w/2$):

$R^2 = d^2 + (w/2)^2$

Выразим $(w/2)^2$:

$(w/2)^2 = R^2 - d^2$

Подставим числовые значения:

$(w/2)^2 = (7 \text{ см})^2 - (3 \text{ см})^2

$(w/2)^2 = 49 \text{ см}^2 - 9 \text{ см}^2

$(w/2)^2 = 40 \text{ см}^2$

Найдем $w/2$:

$w/2 = \sqrt{40 \text{ см}^2}$

$w/2 = \sqrt{4 \times 10} \text{ см}$

$w/2 = 2\sqrt{10} \text{ см}$

Найдем $w$:

$w = 2 \times 2\sqrt{10} \text{ см}$

$w = 4\sqrt{10} \text{ см}$

Теперь, зная площадь сечения и его ширину, найдем высоту цилиндра $H$:

$H = S_{сеч} / w$

$H = 320 \text{ см}^2 / (4\sqrt{10} \text{ см})$

$H = (80 / \sqrt{10}) \text{ см}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{10}$:

$H = (80\sqrt{10}) / (\sqrt{10} \times \sqrt{10}) \text{ см}$

$H = (80\sqrt{10}) / 10 \text{ см}$

$H = 8\sqrt{10} \text{ см}$

Ответ: $8\sqrt{10} \text{ см}$