Страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

281. Даны точки $A_1(1; 0; 4)$ и $A_2(-2; 3; 0)$. Запишите уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку $A_1A_2$ и проходящей через его середину.

Дано:

точки $A_1(1; 0; 4)$ и $A_2(-2; 3; 0)$

Найти:

уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку $A_1A_2$ и проходящей через его середину.

Решение:

Для того чтобы записать уравнение плоскости, нам необходимы координаты нормального вектора к этой плоскости и координаты любой точки, лежащей в этой плоскости.

По условию, плоскость перпендикулярна отрезку $A_1A_2$. Это означает, что вектор $\vec{A_1A_2}$ является нормальным вектором к искомой плоскости.

Найдем координаты вектора $\vec{A_1A_2}$: $$(x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$$

$$\vec{A_1A_2} = (-2 - 1; 3 - 0; 0 - 4) = (-3; 3; -4)$$

Таким образом, нормальный вектор плоскости $\vec{n} = (-3; 3; -4)$. Коэффициенты $A, B, C$ в общем уравнении плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ будут равны координатам этого вектора: $A = -3$, $B = 3$, $C = -4$.

Далее, плоскость проходит через середину отрезка $A_1A_2$. Найдем координаты середины отрезка $M(x_M; y_M; z_M)$:

$$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 + (-2)}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5$$

$$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{0 + 3}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$$

$$z_M = \frac{z_1 + z_2}{2} = \frac{4 + 0}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Координаты середины отрезка $M(-0.5; 1.5; 2)$.

Теперь, используя нормальный вектор $\vec{n}(-3; 3; -4)$ и точку $M(-0.5; 1.5; 2)$, запишем уравнение плоскости по формуле $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$:

$$-3(x - (-0.5)) + 3(y - 1.5) + (-4)(z - 2) = 0$$

$$-3(x + 0.5) + 3(y - 1.5) - 4(z - 2) = 0$$

Раскроем скобки:

$$-3x - 1.5 + 3y - 4.5 - 4z + 8 = 0$$

Сгруппируем члены:

$$-3x + 3y - 4z + (-1.5 - 4.5 + 8) = 0$$

$$-3x + 3y - 4z + 2 = 0$$

Для удобства можно умножить все уравнение на $-1$:

$$3x - 3y + 4z - 2 = 0$$

Ответ:

Уравнение плоскости: $3x - 3y + 4z - 2 = 0$.

282. Даны точки $A(1; 2; 3)$, $B(-3; 3; 2)$. Найдите угол между прямыми $MA$ и $MB$, где $M$ – точка оси абсцисс, одинаково удаленная от точек $A$ и $B$.

Дано:

Точки $A(1; 2; 3)$ и $B(-3; 3; 2)$.

Точка $M$ лежит на оси абсцисс, то есть $M(x_M; 0; 0)$.

Расстояние от $M$ до $A$ равно расстоянию от $M$ до $B$: $|MA| = |MB|$.

Найти:

Угол $\theta$ между прямыми $MA$ и $MB$.

Решение:

1. Определим координаты точки $M$.

Поскольку точка $M$ лежит на оси абсцисс, ее координаты имеют вид $(x_M; 0; 0)$.

Условие равноудаленности $|MA| = |MB|$ эквивалентно $|MA|^2 = |MB|^2$.

Воспользуемся формулой квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ в трехмерном пространстве: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

Вычислим $|MA|^2$:

$|MA|^2 = (x_M - 1)^2 + (0 - 2)^2 + (0 - 3)^2 = (x_M - 1)^2 + (-2)^2 + (-3)^2 = (x_M - 1)^2 + 4 + 9 = (x_M - 1)^2 + 13$

Вычислим $|MB|^2$:

$|MB|^2 = (x_M - (-3))^2 + (0 - 3)^2 + (0 - 2)^2 = (x_M + 3)^2 + (-3)^2 + (-2)^2 = (x_M + 3)^2 + 9 + 4 = (x_M + 3)^2 + 13$

Приравняем квадраты расстояний:

$(x_M - 1)^2 + 13 = (x_M + 3)^2 + 13$

$(x_M - 1)^2 = (x_M + 3)^2$

Раскроем скобки:

$x_M^2 - 2x_M + 1 = x_M^2 + 6x_M + 9$

Вычтем $x_M^2$ из обеих частей уравнения:

$-2x_M + 1 = 6x_M + 9$

Перенесем слагаемые с $x_M$ в одну сторону, а константы в другую:

$1 - 9 = 6x_M + 2x_M$

$-8 = 8x_M$

$x_M = -1$

Таким образом, координаты точки $M$ есть $(-1; 0; 0)$.

2. Определим векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MB}$.

Вектор $\vec{MA}$: $A(1; 2; 3)$, $M(-1; 0; 0)$

$\vec{MA} = (x_A - x_M; y_A - y_M; z_A - z_M) = (1 - (-1); 2 - 0; 3 - 0) = (2; 2; 3)$

Вектор $\vec{MB}$: $B(-3; 3; 2)$, $M(-1; 0; 0)$

$\vec{MB} = (x_B - x_M; y_B - y_M; z_B - z_M) = (-3 - (-1); 3 - 0; 2 - 0) = (-2; 3; 2)$

3. Вычислим косинус угла между векторами $\vec{MA}$ и $\vec{MB}$.

Угол $\theta$ между прямыми $MA$ и $MB$ можно найти с помощью формулы косинуса угла между векторами:

$\cos \theta = \frac{|\vec{MA} \cdot \vec{MB}|}{|\vec{MA}| |\vec{MB}|}$

(Используем модуль скалярного произведения в числителе, чтобы получить наименьший угол между прямыми, который по определению лежит в диапазоне от $0$ до $\frac{\pi}{2}$).

Вычислим скалярное произведение $\vec{MA} \cdot \vec{MB}$:

$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = (2)(-2) + (2)(3) + (3)(2) = -4 + 6 + 6 = 8$

Вычислим длины векторов $|\vec{MA}|$ и $|\vec{MB}|$:

$|\vec{MA}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17}$

$|\vec{MB}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$

Теперь подставим эти значения в формулу для $\cos \theta$:

$\cos \theta = \frac{|8|}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{17}} = \frac{8}{17}$

Угол $\theta$ равен арккосинусу этого значения:

$\theta = \arccos \left(\frac{8}{17}\right)$

Ответ:

Угол между прямыми $MA$ и $MB$ равен $\arccos \left(\frac{8}{17}\right)$.

283. Найдите угол между прямой, проходящей через точки $A(1; -2; 3)$, $B(-3; 2; 5)$, и плоскостью $2x - 2y - z + 4 = 0$.

Дано:

Точка $A(1; -2; 3)$

Точка $B(-3; 2; 5)$

Уравнение плоскости: $2x - 2y - z + 4 = 0$

Перевод в систему СИ: Координаты точек и коэффициенты уравнения плоскости представлены в безразмерном виде, соответствующем стандартной декартовой системе координат. Перевод в СИ не требуется.

Найти:

Угол $\phi$ между прямой, проходящей через точки $A$ и $B$, и плоскостью.

Решение:

1. Найдем направляющий вектор прямой $AB$.

Направляющий вектор $\vec{l}$ прямой, проходящей через точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$, определяется как $\vec{l} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$.

Для точек $A(1; -2; 3)$ и $B(-3; 2; 5)$:

$x_2 - x_1 = -3 - 1 = -4$

$y_2 - y_1 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$

$z_2 - z_1 = 5 - 3 = 2$

Таким образом, направляющий вектор прямой $\vec{l} = (-4; 4; 2)$.

2. Найдем нормальный вектор плоскости.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Нормальный вектор $\vec{n}$ плоскости равен $(A, B, C)$.

Для плоскости $2x - 2y - z + 4 = 0$:

$A = 2$

$B = -2$

$C = -1$

Таким образом, нормальный вектор плоскости $\vec{n} = (2; -2; -1)$.

3. Используем формулу для синуса угла между прямой и плоскостью.

Синус угла $\phi$ между прямой, имеющей направляющий вектор $\vec{l}$, и плоскостью, имеющей нормальный вектор $\vec{n}$, вычисляется по формуле:

$\sin \phi = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{||\vec{l}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{l} \cdot \vec{n}$:

$\vec{l} \cdot \vec{n} = (-4)(2) + (4)(-2) + (2)(-1)$

$\vec{l} \cdot \vec{n} = -8 - 8 - 2 = -18$

$|\vec{l} \cdot \vec{n}| = |-18| = 18$

Вычислим модуль (длину) вектора $\vec{l}$:

$||\vec{l}|| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 2^2}$

$||\vec{l}|| = \sqrt{16 + 16 + 4}$

$||\vec{l}|| = \sqrt{36} = 6$

Вычислим модуль (длину) вектора $\vec{n}$:

$||\vec{n}|| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2}$

$||\vec{n}|| = \sqrt{4 + 4 + 1}$

$||\vec{n}|| = \sqrt{9} = 3$

Подставим значения в формулу для $\sin \phi$:

$\sin \phi = \frac{18}{6 \cdot 3}$

$\sin \phi = \frac{18}{18}$

$\sin \phi = 1$

Найдем угол $\phi$:

$\phi = \arcsin(1)$

$\phi = \frac{\pi}{2}$ радиан или $90^\circ$

Ответ: $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

284. Основание прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ – квадрат, сторона которого равна 1, а боковое ребро равно 2. Найдите:

а) расстояние от точки $A_1$ до плоскости $ABM$, где $M$ – середина ребра $DD_1$;

б) угол между прямой $BD_1$ и плоскостью $A_1BD$;

в) угол между плоскостями $AB_1D_1$ и $A_1C_1D$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Основание $ABCD$ — квадрат со стороной $a = 1$.

Боковое ребро $h = 2$.

Точка $M$ — середина ребра $DD_1$.

Перевод в СИ:

$a = 1$ (условная единица длины)

$h = 2$ (условная единица длины)

Найти:

а) Расстояние от точки $A_1$ до плоскости $ABM$.

б) Угол между прямой $BD_1$ и плоскостью $A_1BD$.

в) Угол между плоскостями $AB_1D_1$ и $A_1C_1D$.

Решение

Зададим систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Тогда координаты вершин будут:

$A = (0,0,0)$

$B = (1,0,0)$

$C = (1,1,0)$

$D = (0,1,0)$

$A_1 = (0,0,2)$

$B_1 = (1,0,2)$

$C_1 = (1,1,2)$

$D_1 = (0,1,2)$

а) расстояние от точки $A_1$ до плоскости $ABM$, где $M$ – середина ребра $DD_1$

Координаты точки $M$, как середины ребра $DD_1$: $M = (\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+2}{2}) = (0,1,1)$.

Плоскость $ABM$ проходит через точки $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $M(0,1,1)$.

Найдем векторы, лежащие в плоскости $ABM$:

$\vec{AB} = B - A = (1,0,0)$

$\vec{AM} = M - A = (0,1,1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $ABM$ перпендикулярен этим векторам. Найдем его как векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0-0) - \mathbf{j}(1-0) + \mathbf{k}(1-0) = (0, -1, 1)$.

Уравнение плоскости $ABM$ имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя координаты вектора нормали $(0,-1,1)$, получаем $0x - 1y + 1z + D = 0$, или $-y + z + D = 0$.

Так как плоскость проходит через точку $A(0,0,0)$, подставим ее координаты: $-0 + 0 + D = 0 \Rightarrow D = 0$.

Таким образом, уравнение плоскости $ABM$ есть $y - z = 0$ (или $0x + 1y - 1z + 0 = 0$).

Расстояние от точки $A_1(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Для точки $A_1=(0,0,2)$ и плоскости $0x + 1y - 1z + 0 = 0$:

$d(A_1, ABM) = \frac{|0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 2 + 0|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{0+1+1}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$

б) угол между прямой $BD_1$ и плоскостью $A_1BD$

Найдем направляющий вектор прямой $BD_1$. Точки: $B(1,0,0)$ и $D_1(0,1,2)$.

$\vec{v} = \vec{BD_1} = D_1 - B = (0-1, 1-0, 2-0) = (-1, 1, 2)$.

Найдем вектор нормали к плоскости $A_1BD$. Точки: $A_1(0,0,2)$, $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$.

Найдем два вектора, лежащие в плоскости $A_1BD$:

$\vec{BA_1} = A_1 - B = (0-1, 0-0, 2-0) = (-1, 0, 2)$

$\vec{BD} = D - B = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)$

Вектор нормали $\vec{n}_{A_1BD}$ к плоскости $A_1BD$:

$\vec{n}_{A_1BD} = \vec{BA_1} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0-2) - \mathbf{j}(0-(-2)) + \mathbf{k}(-1-0) = (-2, -2, -1)$.

Можно использовать эквивалентный вектор $(2,2,1)$ для упрощения вычислений, но $(-2,-2,-1)$ также корректен.

Угол $\phi$ между прямой (с направляющим вектором $\vec{v}$) и плоскостью (с вектором нормали $\vec{n}$) определяется по формуле:

$\sin \phi = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{v} = (-1, 1, 2)$ и $\vec{n} = (-2, -2, -1)$:

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (-1)(-2) + (1)(-2) + (2)(-1) = 2 - 2 - 2 = -2$.

Вычислим длины векторов:

$||\vec{v}|| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$.

$||\vec{n}|| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.

Подставим значения в формулу для синуса угла:

$\sin \phi = \frac{|-2|}{\sqrt{6} \cdot 3} = \frac{2}{3\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{3 \cdot 6} = \frac{2\sqrt{6}}{18} = \frac{\sqrt{6}}{9}$.

Таким образом, угол $\phi = \arcsin\left(\frac{\sqrt{6}}{9}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{6}}{9}\right)$

в) угол между плоскостями $AB_1D_1$ и $A_1C_1D$

Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами.

Найдем нормальный вектор $\vec{n}_1$ для плоскости $AB_1D_1$. Точки: $A(0,0,0)$, $B_1(1,0,2)$, $D_1(0,1,2)$.

Векторы в плоскости:

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (1,0,2)$

$\vec{AD_1} = D_1 - A = (0,1,2)$

$\vec{n}_1 = \vec{AB_1} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0-2) - \mathbf{j}(2-0) + \mathbf{k}(1-0) = (-2, -2, 1)$.

Найдем нормальный вектор $\vec{n}_2$ для плоскости $A_1C_1D$. Точки: $A_1(0,0,2)$, $C_1(1,1,2)$, $D(0,1,0)$.

Векторы в плоскости:

$\vec{DA_1} = A_1 - D = (0-0, 0-1, 2-0) = (0, -1, 2)$

$\vec{DC_1} = C_1 - D = (1-0, 1-1, 2-0) = (1, 0, 2)$

$\vec{n}_2 = \vec{DA_1} \times \vec{DC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-2-0) - \mathbf{j}(0-2) + \mathbf{k}(0-(-1)) = (-2, 2, 1)$.

Угол $\theta$ между двумя плоскостями определяется по формуле:

$\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{||\vec{n}_1|| \cdot ||\vec{n}_2||}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{n}_1 = (-2, -2, 1)$ и $\vec{n}_2 = (-2, 2, 1)$:

$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (-2)(-2) + (-2)(2) + (1)(1) = 4 - 4 + 1 = 1$.

Вычислим длины нормальных векторов:

$||\vec{n}_1|| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.

$||\vec{n}_2|| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.

Подставим значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \theta = \frac{|1|}{3 \cdot 3} = \frac{1}{9}$.

Таким образом, угол $\theta = \arccos\left(\frac{1}{9}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{9}\right)$