Номер 281, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

281. Даны точки $A_1(1; 0; 4)$ и $A_2(-2; 3; 0)$. Запишите уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку $A_1A_2$ и проходящей через его середину.

Дано:

точки $A_1(1; 0; 4)$ и $A_2(-2; 3; 0)$

Найти:

уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку $A_1A_2$ и проходящей через его середину.

Решение:

Для того чтобы записать уравнение плоскости, нам необходимы координаты нормального вектора к этой плоскости и координаты любой точки, лежащей в этой плоскости.

По условию, плоскость перпендикулярна отрезку $A_1A_2$. Это означает, что вектор $\vec{A_1A_2}$ является нормальным вектором к искомой плоскости.

Найдем координаты вектора $\vec{A_1A_2}$: $$(x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$$

$$\vec{A_1A_2} = (-2 - 1; 3 - 0; 0 - 4) = (-3; 3; -4)$$

Таким образом, нормальный вектор плоскости $\vec{n} = (-3; 3; -4)$. Коэффициенты $A, B, C$ в общем уравнении плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ будут равны координатам этого вектора: $A = -3$, $B = 3$, $C = -4$.

Далее, плоскость проходит через середину отрезка $A_1A_2$. Найдем координаты середины отрезка $M(x_M; y_M; z_M)$:

$$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 + (-2)}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5$$

$$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{0 + 3}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$$

$$z_M = \frac{z_1 + z_2}{2} = \frac{4 + 0}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Координаты середины отрезка $M(-0.5; 1.5; 2)$.

Теперь, используя нормальный вектор $\vec{n}(-3; 3; -4)$ и точку $M(-0.5; 1.5; 2)$, запишем уравнение плоскости по формуле $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$:

$$-3(x - (-0.5)) + 3(y - 1.5) + (-4)(z - 2) = 0$$

$$-3(x + 0.5) + 3(y - 1.5) - 4(z - 2) = 0$$

Раскроем скобки:

$$-3x - 1.5 + 3y - 4.5 - 4z + 8 = 0$$

Сгруппируем члены:

$$-3x + 3y - 4z + (-1.5 - 4.5 + 8) = 0$$

$$-3x + 3y - 4z + 2 = 0$$

Для удобства можно умножить все уравнение на $-1$:

$$3x - 3y + 4z - 2 = 0$$

Ответ:

Уравнение плоскости: $3x - 3y + 4z - 2 = 0$.