Номер 278, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

278. Угол между прямой $\begin{cases} x - y - z = 0, \\ 2x + y + z - 2 = 0 \end{cases}$ и плоскостью $2x - y + 2z + 1 = 0$ равен:

1) $\arcsin \frac{\sqrt{8}}{3}$; 2) $\arcsin \frac{1}{3\sqrt{3}}$; 3) $0^\circ$; 4) $\arcsin \frac{5}{3\sqrt{6}}$; 5) $45^\circ$.

Дано

Прямая $L$ задана как пересечение двух плоскостей:

$\begin{cases} x - y - z = 0 \\ 2x + y + z - 2 = 0 \end{cases}$

Плоскость $P$ задана уравнением:

$2x - y + 2z + 1 = 0$

Найти:

Угол $\theta$ между прямой $L$ и плоскостью $P$.

Решение

Угол $\theta$ между прямой и плоскостью можно найти по формуле:

$\sin \theta = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n_P}|}{||\vec{l}|| \cdot ||\vec{n_P}||}$

где $\vec{l}$ - направляющий вектор прямой, а $\vec{n_P}$ - нормальный вектор плоскости.

1. Найдем направляющий вектор прямой $L$. Прямая $L$ задана как пересечение двух плоскостей с нормальными векторами $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$. Направляющий вектор прямой $L$ перпендикулярен обоим этим нормальным векторам, поэтому его можно найти как их векторное произведение.

Для первой плоскости $x - y - z = 0$, нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, -1, -1)$.

Для второй плоскости $2x + y + z - 2 = 0$, нормальный вектор $\vec{n_2} = (2, 1, 1)$.

Вычислим векторное произведение для получения направляющего вектора $\vec{l}$:

$\vec{l} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{l} = \mathbf{i}((-1)(1) - (-1)(1)) - \mathbf{j}((1)(1) - (-1)(2)) + \mathbf{k}((1)(1) - (-1)(2))$

$\vec{l} = \mathbf{i}(-1 + 1) - \mathbf{j}(1 + 2) + \mathbf{k}(1 + 2)$

$\vec{l} = 0\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 3\mathbf{k}$

Таким образом, направляющий вектор прямой $\vec{l} = (0, -3, 3)$.

2. Найдем нормальный вектор плоскости $P$.

Из уравнения плоскости $2x - y + 2z + 1 = 0$, нормальный вектор $\vec{n_P} = (2, -1, 2)$.

3. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{l}$ и $\vec{n_P}$:

$\vec{l} \cdot \vec{n_P} = (0)(2) + (-3)(-1) + (3)(2) = 0 + 3 + 6 = 9$

4. Вычислим модули векторов $||\vec{l}||$ и $||\vec{n_P}||$:

$||\vec{l}|| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$||\vec{n_P}|| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$

5. Подставим полученные значения в формулу для $\sin \theta$:

$\sin \theta = \frac{|9|}{(3\sqrt{2})(3)} = \frac{9}{9\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Следовательно, $\theta = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.

Известно, что $\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^\circ$.

Ответ:

$45^\circ$