Номер 276, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

276. Даны точки A(-4; -4; 4), B(-3; 2; 2), C(2; 5; 1), D(3; -2; 2). Тогда угол между прямыми AC и BD равен:

1) $0^\circ$;

2) $\arccos \frac{2}{3\sqrt{182}}$;

3) $90^\circ$;

4) $\arccos \frac{1}{21\sqrt{17}}$;

5) $45^\circ$.

Дано

Точки в трехмерном пространстве: $A(-4; -4; 4)$ $B(-3; 2; 2)$ $C(2; 5; 1)$ $D(3; -2; 2)$

Найти:

Угол между прямыми $AC$ и $BD$.

Решение

Для того чтобы найти угол между двумя прямыми в пространстве, необходимо определить их направляющие векторы. Угол между прямыми будет равен углу между их направляющими векторами (или $180^\circ$ минус этот угол, если он тупой; обычно выбирают острый угол). Косинус угла между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется формулой: $\cos \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

1. Найдем направляющий вектор прямой $AC$, который является вектором $\vec{AC}$: $\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A)$ $\vec{AC} = (2 - (-4); 5 - (-4); 1 - 4)$ $\vec{AC} = (6; 9; -3)$

2. Найдем направляющий вектор прямой $BD$, который является вектором $\vec{BD}$: $\vec{BD} = (x_D - x_B; y_D - y_B; z_D - z_B)$ $\vec{BD} = (3 - (-3); -2 - 2; 2 - 2)$ $\vec{BD} = (6; -4; 0)$

3. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$: $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (x_{AC} \cdot x_{BD}) + (y_{AC} \cdot y_{BD}) + (z_{AC} \cdot z_{BD})$ $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (6)(6) + (9)(-4) + (-3)(0)$ $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 36 - 36 + 0$ $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ равно $0$, это означает, что векторы ортогональны, то есть перпендикулярны друг другу. Следовательно, прямые $AC$ и $BD$ также перпендикулярны.

4. Вычислим длины (модули) векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ (хотя это не требуется, так как скалярное произведение равно нулю, мы выполним это для полноты решения): $|\vec{AC}| = \sqrt{x_{AC}^2 + y_{AC}^2 + z_{AC}^2} = \sqrt{6^2 + 9^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 81 + 9} = \sqrt{126}$ $|\vec{BD}| = \sqrt{x_{BD}^2 + y_{BD}^2 + z_{BD}^2} = \sqrt{6^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 16 + 0} = \sqrt{52}$

5. Подставим значения в формулу для косинуса угла: $\cos \theta = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{BD}|}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}|} = \frac{|0|}{\sqrt{126} \cdot \sqrt{52}} = \frac{0}{\sqrt{6552}} = 0$

Из равенства $\cos \theta = 0$ следует, что угол $\theta$ равен $90^\circ$.

Ответ:

$90^\circ$