Номер 270, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

11. Упражнения на повторение раздела «Применение уравнений прямой и плоскости». II. Применение уравнений прямой и плоскости - номер 270, страница 85.

Условие.

270. Даны точки B(-1; 2; 3) и C(-2; 3; 4). Какую фигуру образует множество всех точек M(x; y; z), для каждой из которых верно равенство $MB^2 - MC^2 = 16$? Запишите уравнение этой фигуры.

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано:

Точки $B(-1; 2; 3)$ и $C(-2; 3; 4)$.

Множество точек $M(x; y; z)$ удовлетворяет условию $MB^2 - MC^2 = 16$.

Найти:

Фигуру, которую образует множество точек $M(x; y; z)$, и ее уравнение.

Решение:

Пусть координаты точки $M$ будут $(x, y, z)$, точки $B$ - $(-1, 2, 3)$, а точки $C$ - $(-2, 3, 4)$.

Квадрат расстояния между двумя точками $P_1(x_1, y_1, z_1)$ и $P_2(x_2, y_2, z_2)$ в трехмерном пространстве вычисляется по формуле:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

Найдем $MB^2$:

$MB^2 = (x - (-1))^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2$

$MB^2 = (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2$

$MB^2 = (x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + (z^2 - 6z + 9)$

$MB^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y - 6z + 14$

Найдем $MC^2$:

$MC^2 = (x - (-2))^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2$

$MC^2 = (x + 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2$

$MC^2 = (x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) + (z^2 - 8z + 16)$

$MC^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 6y - 8z + 29$

Теперь подставим выражения для $MB^2$ и $MC^2$ в заданное равенство $MB^2 - MC^2 = 16$:

$(x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y - 6z + 14) - (x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 6y - 8z + 29) = 16$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y - 6z + 14 - x^2 - y^2 - z^2 - 4x + 6y + 8z - 29 = 16$

Члены $x^2, y^2, z^2$ взаимно уничтожаются. Сгруппируем подобные члены:

$(2x - 4x) + (-4y + 6y) + (-6z + 8z) + (14 - 29) = 16$

$-2x + 2y + 2z - 15 = 16$

Перенесем константу в правую часть уравнения:

$-2x + 2y + 2z = 16 + 15$

$-2x + 2y + 2z = 31$

или

$-2x + 2y + 2z - 31 = 0$

Это уравнение является линейным уравнением относительно $x, y, z$. Общий вид линейного уравнения в трехмерном пространстве $Ax + By + Cz + D = 0$ описывает плоскость.

Таким образом, множество всех точек $M(x; y; z)$, для каждой из которых верно равенство $MB^2 - MC^2 = 16$, образует плоскость.

Ответ:

Множество точек $M(x; y; z)$ образует плоскость. Уравнение этой фигуры: $-2x + 2y + 2z - 31 = 0$.