Номер 268, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

268. Дана плоскость $20,2x + 20,25y + 20,3z + 20500 = 0$. Докажите, что расстояние от начала координат до этой плоскости, выраженное в метрах, меньше высоты горы Акбет, но больше высоты горы Айыртау.

Гора Акбет,
Павлодарская область

Гора Айыртау,
Северо-Казахстанская область

Дано:

Уравнение плоскости: $20.2x + 20.25y + 20.3z + 20500 = 0$

Координаты начала координат: $(x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 0)$

Высота горы Акбет (из внешних источников): $H_{Акбет} = 1022 \, \text{м}$

Высота горы Айыртау (из внешних источников): $H_{Айыртау} = 530 \, \text{м}$

Перевод данных в систему СИ:

Все исходные данные уже представлены в единицах СИ или являются безразмерными коэффициентами, не требующими перевода.

Найти:

Доказать, что расстояние $d$ от начала координат до данной плоскости удовлетворяет условию $H_{Айыртау} < d < H_{Акбет}$.

Решение:

Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В данном случае, начало координат имеет координаты $(x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 0)$. Коэффициенты уравнения плоскости: $A = 20.2$, $B = 20.25$, $C = 20.3$, $D = 20500$.

Подставим эти значения в формулу:

$d = \frac{|20.2(0) + 20.25(0) + 20.3(0) + 20500|}{\sqrt{(20.2)^2 + (20.25)^2 + (20.3)^2}}$

$d = \frac{|20500|}{\sqrt{408.04 + 410.0625 + 412.09}}$

$d = \frac{20500}{\sqrt{1230.1925}}$

Вычислим значение квадратного корня:

$\sqrt{1230.1925} \approx 35.0740916$

Теперь вычислим расстояние $d$:

$d \approx \frac{20500}{35.0740916} \approx 584.423 \, \text{м}$

Сравним полученное расстояние с высотами гор:

Высота горы Акбет $H_{Акбет} = 1022 \, \text{м}$.

Высота горы Айыртау $H_{Айыртау} = 530 \, \text{м}$.

Нам необходимо доказать, что $H_{Айыртау} < d < H_{Акбет}$. Подставим числовые значения:

$530 \, \text{м} < 584.423 \, \text{м} < 1022 \, \text{м}$

Оба неравенства верны:

$530 < 584.423$ (истинно)

$584.423 < 1022$ (истинно)

Таким образом, расстояние от начала координат до данной плоскости ($584.423 \, \text{м}$) действительно меньше высоты горы Акбет ($1022 \, \text{м}$), но больше высоты горы Айыртау ($530 \, \text{м}$).

Ответ:

Утверждение доказано.