Номер 261, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

261. Векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ попарно перпендикулярны, а их длины соответственно равны 3, 2, 6, $\vec{d} = \vec{a} + 3\vec{b} + \vec{c}$ и $\vec{p} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$. Найдите угол между:
а) прямыми, на которых лежат векторы $\vec{d}$ и $\vec{p}$;
б) прямой, содержащей вектор $\vec{d}$, и плоскостью $x + 2y + 2z - 1 = 0$;
в) плоскостью, заданной векторами $\vec{d}$ и $\vec{p}$, и плоскостью $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$.

Дано

Векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ попарно перпендикулярны. Их длины: $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $|\vec{c}| = 6$.

Векторы $\vec{d} = \vec{a} + 3\vec{b} + \vec{c}$ и $\vec{p} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$.

Уравнения плоскостей:

Плоскость 1: $x + 2y + 2z - 1 = 0$

Плоскость 2: $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$

Найти:

а) Угол между прямыми, на которых лежат векторы $\vec{d}$ и $\vec{p}$.

б) Угол между прямой, содержащей вектор $\vec{d}$, и плоскостью $x + 2y + 2z - 1 = 0$.

в) Угол между плоскостью, заданной векторами $\vec{d}$ и $\vec{p}$, и плоскостью $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$.

Решение

Так как векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ попарно перпендикулярны, их скалярные произведения равны нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$, $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$. Также $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$.

Для удобства вычислений введем ортонормированный базис $(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3})$, такой что $\vec{a} = |\vec{a}|\vec{e_1}$, $\vec{b} = |\vec{b}|\vec{e_2}$, $\vec{c} = |\vec{c}|\vec{e_3}$.Тогда $\vec{a} = (3, 0, 0)$, $\vec{b} = (0, 2, 0)$, $\vec{c} = (0, 0, 6)$ в этом базисе.

Найдем координаты векторов $\vec{d}$ и $\vec{p}$:

$\vec{d} = \vec{a} + 3\vec{b} + \vec{c} = (3, 0, 0) + 3(0, 2, 0) + (0, 0, 6) = (3, 0, 0) + (0, 6, 0) + (0, 0, 6) = (3, 6, 6)$.

$\vec{p} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c} = (3, 0, 0) - (0, 2, 0) - (0, 0, 6) = (3, -2, -6)$.

Найдем длины векторов $\vec{d}$ и $\vec{p}$:

$|\vec{d}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36 + 36} = \sqrt{81} = 9$.

$|\vec{p}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.

Найдем скалярное произведение $\vec{d} \cdot \vec{p}$:

$\vec{d} \cdot \vec{p} = (3)(3) + (6)(-2) + (6)(-6) = 9 - 12 - 36 = -39$.

Alternatively, using vector properties:

$\vec{d} \cdot \vec{p} = (\vec{a} + 3\vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{b} - \vec{c})$

$= \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} + 3\vec{b} \cdot \vec{a} - 3\vec{b} \cdot \vec{b} - 3\vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} - \vec{c} \cdot \vec{b} - \vec{c} \cdot \vec{c}$

Используя попарную перпендикулярность ($\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$, $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$):

$= |\vec{a}|^2 - 3|\vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2 = 3^2 - 3(2^2) - 6^2 = 9 - 3(4) - 36 = 9 - 12 - 36 = -39$.

Длины векторов:

$|\vec{d}|^2 = (\vec{a} + 3\vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + 3\vec{b} + \vec{c}) = |\vec{a}|^2 + (3|\vec{b}|)^2 + |\vec{c}|^2 = 3^2 + 9(2^2) + 6^2 = 9 + 36 + 36 = 81 \Rightarrow |\vec{d}| = 9$.

$|\vec{p}|^2 = (\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 = 3^2 + 2^2 + 6^2 = 9 + 4 + 36 = 49 \Rightarrow |\vec{p}| = 7$.

а) прямыми, на которых лежат векторы $\vec{d}$ и $\vec{p}$

Угол $\theta$ между двумя прямыми, заданными векторами $\vec{d}$ и $\vec{p}$, определяется формулой $\cos \theta = \frac{|\vec{d} \cdot \vec{p}|}{|\vec{d}| |\vec{p}|}$.

$\cos \theta = \frac{|-39|}{9 \cdot 7} = \frac{39}{63}$.

Сократим дробь: $\frac{39 \div 3}{63 \div 3} = \frac{13}{21}$.

$\theta = \arccos \left(\frac{13}{21}\right)$.

Ответ: $\theta = \arccos \left(\frac{13}{21}\right)$

б) прямой, содержащей вектор $\vec{d}$, и плоскостью $x + 2y + 2z - 1 = 0$

Направляющий вектор прямой - это $\vec{d} = (3, 6, 6)$.

Нормальный вектор плоскости $x + 2y + 2z - 1 = 0$ это $\vec{n} = (1, 2, 2)$.

Длина нормального вектора $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

Угол $\phi$ между прямой и плоскостью определяется формулой $\sin \phi = \frac{|\vec{d} \cdot \vec{n}|}{|\vec{d}| |\vec{n}|}$.

Найдем скалярное произведение $\vec{d} \cdot \vec{n}$:$\vec{d} \cdot \vec{n} = (3)(1) + (6)(2) + (6)(2) = 3 + 12 + 12 = 27$.

$\sin \phi = \frac{|27|}{9 \cdot 3} = \frac{27}{27} = 1$.

Так как $\sin \phi = 1$, то $\phi = \frac{\pi}{2}$ радиан (или $90^\circ$). Это означает, что прямая перпендикулярна плоскости.

Ответ: $\phi = \frac{\pi}{2}$

в) плоскостью, заданной векторами $\vec{d}$ и $\vec{p}$, и плоскостью $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$

Сначала найдем нормальный вектор $\vec{N_1}$ к плоскости, заданной векторами $\vec{d}$ и $\vec{p}$. Этот вектор находится как векторное произведение $\vec{d} \times \vec{p}$.

$\vec{N_1} = \vec{d} \times \vec{p} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 6 & 6 \\ 3 & -2 & -6 \end{vmatrix}$

$= \vec{i}((6)(-6) - (6)(-2)) - \vec{j}((3)(-6) - (6)(3)) + \vec{k}((3)(-2) - (6)(3))$

$= \vec{i}(-36 + 12) - \vec{j}(-18 - 18) + \vec{k}(-6 - 18)$

$= -24\vec{i} + 36\vec{j} - 24\vec{k}$.

Таким образом, $\vec{N_1} = (-24, 36, -24)$. Для упрощения можно использовать сонаправленный вектор $\vec{N_1}' = (-2, 3, -2)$ (разделив на 12).

Длина нормального вектора $|\vec{N_1}'| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$.

Далее, найдем нормальный вектор $\vec{N_2}$ ко второй плоскости. Уравнение плоскости $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$.

Приведем уравнение к общему виду $Ax + By + Cz + D = 0$, умножив на 6:

$3x - 2y + 2z = 6 \Rightarrow 3x - 2y + 2z - 6 = 0$.

Нормальный вектор $\vec{N_2} = (3, -2, 2)$.

Длина нормального вектора $|\vec{N_2}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17}$.

Угол $\psi$ между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами.$\cos \psi = \frac{|\vec{N_1}' \cdot \vec{N_2}|}{|\vec{N_1}'| |\vec{N_2}|}$.

Найдем скалярное произведение $\vec{N_1}' \cdot \vec{N_2}$:$\vec{N_1}' \cdot \vec{N_2} = (-2)(3) + (3)(-2) + (-2)(2) = -6 - 6 - 4 = -16$.

$\cos \psi = \frac{|-16|}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{17}} = \frac{16}{17}$.

$\psi = \arccos \left(\frac{16}{17}\right)$.

Ответ: $\psi = \arccos \left(\frac{16}{17}\right)$