Номер 258, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

11. Упражнения на повторение раздела «Применение уравнений прямой и плоскости». II. Применение уравнений прямой и плоскости - номер 258, страница 84.

Условие.

258. Прямая задана уравнениями $ \frac{x+5}{5} = \frac{y+4}{4} = \frac{z+3}{3} $. Найдите расстояния от каких-либо двух точек этой прямой до плоскости $ 2x + 2y - z = 0 $.

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано:
Уравнение прямой $L$: $\frac{x+5}{5} = \frac{y+4}{4} = \frac{z+3}{3}$
Уравнение плоскости $P$: $2x + 2y - z = 0$

Перевод в систему СИ:
Данные являются координатами и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:
Расстояние от каких-либо двух точек прямой $L$ до плоскости $P$.

Решение:

Сначала определим параметры прямой и плоскости.Уравнение прямой $\frac{x+5}{5} = \frac{y+4}{4} = \frac{z+3}{3}$ имеет вид $\frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n}$. Из него можно определить точку на прямой $M_0(-5, -4, -3)$ и направляющий вектор прямой $\vec{v}=(5, 4, 3)$.

Уравнение плоскости $2x + 2y - z = 0$ имеет вид $Ax+By+Cz+D=0$. Из него можно определить нормальный вектор плоскости $\vec{n}=(2, 2, -1)$.

Далее, проверим взаимное расположение прямой и плоскости, вычислив скалярное произведение направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости:$ \vec{v} \cdot \vec{n} = (5)(2) + (4)(2) + (3)(-1) = 10 + 8 - 3 = 15 $

Так как скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n} = 15 \neq 0$, прямая не параллельна плоскости, следовательно, она пересекает плоскость.

Найдем точку пересечения прямой и плоскости. Представим уравнение прямой в параметрической форме, приравняв все части к параметру $t$:$ \frac{x+5}{5} = \frac{y+4}{4} = \frac{z+3}{3} = t $

Отсюда выразим $x, y, z$ через $t$:$ x = 5t - 5 $

$ y = 4t - 4 $

$ z = 3t - 3 $

Подставим эти выражения для $x, y, z$ в уравнение плоскости $2x + 2y - z = 0$:$ 2(5t - 5) + 2(4t - 4) - (3t - 3) = 0 $

$ 10t - 10 + 8t - 8 - 3t + 3 = 0 $

$ 15t - 15 = 0 $

$ 15t = 15 $

$ t = 1 $

Теперь найдем координаты точки пересечения $M_I$, подставив $t=1$:$ x_I = 5(1) - 5 = 0 $

$ y_I = 4(1) - 4 = 0 $

$ z_I = 3(1) - 3 = 0 $

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости – это $M_I(0, 0, 0)$.

Теперь вычислим расстояния от двух точек прямой до плоскости.Поскольку прямая пересекает плоскость, расстояние от различных точек прямой до плоскости будет разным.

Для вычисления расстояния от точки $(x_1, y_1, z_1)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ используется формула $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

**Первая точка:** Точка пересечения $M_I(0, 0, 0)$.Для точки $M_I(0, 0, 0)$ и плоскости $2x + 2y - z = 0$:$ d_1 = \frac{|2(0) + 2(0) - (0)|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|0|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{0}{\sqrt{9}} = 0 $

**Вторая точка:** Возьмем точку $M_0(-5, -4, -3)$, которая была получена из уравнения прямой.Для точки $M_0(-5, -4, -3)$ и плоскости $2x + 2y - z = 0$:$ d_2 = \frac{|2(-5) + 2(-4) - (-3)|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} $

$ d_2 = \frac{|-10 - 8 + 3|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} $

$ d_2 = \frac{|-15|}{\sqrt{9}} $

$ d_2 = \frac{15}{3} = 5 $

Расстояние от точек прямой до плоскости не является постоянным, так как прямая пересекает плоскость. Мы нашли два различных расстояния для двух выбранных точек.

Ответ: Расстояние от точки $M_I(0,0,0)$ прямой до плоскости равно $0$. Расстояние от точки $M_0(-5,-4,-3)$ прямой до плоскости равно $5$.