Номер 265, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

265. Из точки $M(0; 0; 18)$ к плоскости $Oxy$ проведены наклонные $MK$ и $MN$, длины ортогональных проекций которых на эту плоскость соответственно равны 40 и 30, а $KN = 50$. Найдите расстояние от ортогональной проекции точки $M$ на плоскость $Oxy$ до плоскости $MNK$.

Дано:

Из точки $M(0; 0; 18)$ к плоскости $Oxy$ проведены наклонные $MK$ и $MN$.

Длины ортогональных проекций этих наклонных на плоскость $Oxy$ равны $40$ и $30$ соответственно. Обозначим их как $M'K$ и $M'N$, где $M'$ - проекция точки $M$ на плоскость $Oxy$.

Расстояние $KN = 50$.

Перевод в СИ:

Все данные представлены в условных единицах длины, преобразование в СИ не требуется.

Найти:

Расстояние от ортогональной проекции точки $M$ на плоскость $Oxy$ до плоскости $MNK$.

Решение:

Обозначим ортогональную проекцию точки $M(0;0;18)$ на плоскость $Oxy$ как $M'$. Очевидно, что $M'=(0;0;0)$.

Поскольку $MK$ и $MN$ являются наклонными к плоскости $Oxy$, а их ортогональные проекции имеют длины $40$ и $30$ соответственно, это означает, что точки $K$ и $N$ лежат непосредственно в плоскости $Oxy$. Таким образом, $K$ является проекцией $K$ на $Oxy$, а $N$ является проекцией $N$ на $Oxy$. Тогда длины проекций, упомянутые в условии, это длины отрезков $M'K$ и $M'N$.

У нас есть длины отрезков в плоскости $Oxy$: $M'K = 40$, $M'N = 30$, и расстояние между точками $K$ и $N$ равно $KN = 50$. Проверим, является ли треугольник $M'KN$ прямоугольным:

$M'K^2 + M'N^2 = 40^2 + 30^2 = 1600 + 900 = 2500$

$KN^2 = 50^2 = 2500$

Поскольку $M'K^2 + M'N^2 = KN^2$, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $M'KN$ является прямоугольным с прямым углом в вершине $M'$.

Расположим систему координат так, чтобы $M'$ была в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку отрезки $M'K$ и $M'N$ перпендикулярны, мы можем совместить их с осями координат. Пусть $M'K$ лежит на оси $Ox$, а $M'N$ на оси $Oy$.

Тогда координаты точек будут:

$M'=(0,0,0)$

$K=(40,0,0)$

$N=(0,30,0)$

$M=(0,0,18)$

Нам требуется найти расстояние от точки $M'(0,0,0)$ до плоскости $MNK$.

Для этого сначала найдем уравнение плоскости $MNK$. Уравнение плоскости общего вида: $Ax + By + Cz + D = 0$.

Определим два вектора, лежащие в плоскости $MNK$, например, $\vec{MK}$ и $\vec{MN}$:

$\vec{MK} = K - M = (40-0, 0-0, 0-18) = (40, 0, -18)$

$\vec{MN} = N - M = (0-0, 30-0, 0-18) = (0, 30, -18)$

Нормальный вектор $\vec{n}=(A,B,C)$ к плоскости $MNK$ можно найти как векторное произведение этих двух векторов:

$\vec{n} = \vec{MK} \times \vec{MN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 40 & 0 & -18 \\ 0 & 30 & -18 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \mathbf{i}(0 \cdot (-18) - (-18) \cdot 30) - \mathbf{j}(40 \cdot (-18) - (-18) \cdot 0) + \mathbf{k}(40 \cdot 30 - 0 \cdot 0)$

$\vec{n} = \mathbf{i}(540) - \mathbf{j}(-720) + \mathbf{k}(1200)$

$\vec{n} = (540, 720, 1200)$

Для упрощения нормального вектора, разделим его компоненты на их наибольший общий делитель, который равен $60$:

$\vec{n} = (\frac{540}{60}, \frac{720}{60}, \frac{1200}{60}) = (9, 12, 20)$

Таким образом, уравнение плоскости $MNK$ имеет вид $9x + 12y + 20z + D = 0$.

Для нахождения значения $D$ подставим координаты одной из точек, принадлежащих плоскости, например, $M(0,0,18)$:

$9(0) + 12(0) + 20(18) + D = 0$

$360 + D = 0 \implies D = -360$

Следовательно, уравнение плоскости $MNK$ есть $9x + 12y + 20z - 360 = 0$.

Теперь вычислим расстояние $d$ от точки $M'(0,0,0)$ до этой плоскости, используя формулу для расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае $(x_0, y_0, z_0) = (0,0,0)$, $A=9$, $B=12$, $C=20$, $D=-360$.

$d = \frac{|9(0) + 12(0) + 20(0) - 360|}{\sqrt{9^2 + 12^2 + 20^2}}$

$d = \frac{|-360|}{\sqrt{81 + 144 + 400}}$

$d = \frac{360}{\sqrt{225 + 400}}$

$d = \frac{360}{\sqrt{625}}$

$d = \frac{360}{25}$

$d = 14.4$

Ответ:

$14.4$