Страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

256. Дан треугольник, вершины которого являются точки $A(-1; 3; 0)$, $B(0; 2; -5)$ и $C(4; -6; -1)$. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $A$ и перпендикулярной медиане $AM$ этого треугольника.

Дано

Вершины треугольника: $A(-1; 3; 0)$, $B(0; 2; -5)$, $C(4; -6; -1)$.

Найти

Уравнение плоскости, проходящей через точку $A$ и перпендикулярной медиане $AM$.

Решение

Для того чтобы составить уравнение плоскости, нам необходимы координаты точки, через которую проходит плоскость (точка $A$ дана), и вектор нормали к этой плоскости. Поскольку плоскость перпендикулярна медиане $AM$, вектор $\vec{AM}$ будет являться вектором нормали к искомой плоскости.

Сначала найдем координаты точки $M$, которая является серединой отрезка $BC$, так как $AM$ - это медиана. Координаты середины отрезка находятся по формуле:

$M_x = \frac{B_x + C_x}{2}$
$M_y = \frac{B_y + C_y}{2}$
$M_z = \frac{B_z + C_z}{2}$

Подставим координаты точек $B(0; 2; -5)$ и $C(4; -6; -1)$:

$M_x = \frac{0 + 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$M_y = \frac{2 + (-6)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$M_z = \frac{-5 + (-1)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Таким образом, координаты точки $M$ составляют $(2; -2; -3)$.

Теперь найдем координаты вектора $\vec{AM}$. Для этого вычтем координаты начала вектора ($A$) из координат конца вектора ($M$):

$\vec{AM} = (M_x - A_x; M_y - A_y; M_z - A_z)$

Подставим координаты точек $A(-1; 3; 0)$ и $M(2; -2; -3)$:

$\vec{AM} = (2 - (-1); -2 - 3; -3 - 0)$
$\vec{AM} = (3; -5; -3)$

Этот вектор $\vec{AM}$ является вектором нормали $\vec{n}$ к искомой плоскости. То есть, $\vec{n} = (3; -5; -3)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $A(x_0; y_0; z_0)$ с нормальным вектором $\vec{n}(A; B; C)$, имеет вид:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Подставим координаты точки $A(-1; 3; 0)$ и компоненты вектора нормали $\vec{n}(3; -5; -3)$:

$3(x - (-1)) + (-5)(y - 3) + (-3)(z - 0) = 0$
$3(x + 1) - 5(y - 3) - 3z = 0$
$3x + 3 - 5y + 15 - 3z = 0$
$3x - 5y - 3z + 18 = 0$

Ответ:
Уравнение плоскости: $3x - 5y - 3z + 18 = 0$.

257. Исследуйте, лежит ли прямая $\begin{cases} 3x + y - z - 2 = 0 \\ 7x + y + z - 4 = 0 \end{cases}$, в плоскости $x + y - 2z - 1 = 0.$

Дано

Прямая $L$ задана как пересечение двух плоскостей:

$P_1: 3x + y - z - 2 = 0$

$P_2: 7x + y + z - 4 = 0$

Плоскость $P$ задана уравнением:

$P: x + y - 2z - 1 = 0$

Найти:

Лежит ли прямая $L$ в плоскости $P$?

Решение

Прямая $L$, заданная как пересечение двух плоскостей $P_1$ и $P_2$, лежит в плоскости $P$ тогда и только тогда, когда плоскость $P$ является линейной комбинацией плоскостей $P_1$ и $P_2$. Это означает, что существуют такие числа $\lambda$ и $\mu$ (не одновременно равные нулю), что уравнение плоскости $P$ может быть записано как:

$(x + y - 2z - 1) = \lambda (3x + y - z - 2) + \mu (7x + y + z - 4)$

Раскроем скобки и сгруппируем члены по $x, y, z$ и свободным членам:

$x + y - 2z - 1 = (3\lambda + 7\mu)x + (\lambda + \mu)y + (-\lambda + \mu)z + (-2\lambda - 4\mu)$

Приравниваем коэффициенты при соответствующих переменных и свободные члены с обеих сторон уравнения:

Для $x$: $1 = 3\lambda + 7\mu$ (1)

Для $y$: $1 = \lambda + \mu$ (2)

Для $z$: $-2 = -\lambda + \mu$ (3)

Для свободного члена: $-1 = -2\lambda - 4\mu$ (4)

Решим систему уравнений (2) и (3) для нахождения $\lambda$ и $\mu$.

Из уравнения (2) выразим $\mu$: $\mu = 1 - \lambda$.

Подставим это выражение для $\mu$ в уравнение (3):

$-2 = -\lambda + (1 - \lambda)$

$-2 = 1 - 2\lambda$

$2\lambda = 1 + 2$

$2\lambda = 3$

$\lambda = \frac{3}{2}$

Теперь найдем $\mu$:

$\mu = 1 - \lambda = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$

Проверим найденные значения $\lambda = \frac{3}{2}$ и $\mu = -\frac{1}{2}$ в оставшихся уравнениях (1) и (4).

Проверка уравнения (1):

$3\lambda + 7\mu = 3\left(\frac{3}{2}\right) + 7\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{9}{2} - \frac{7}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Левая часть равна $1$, что совпадает с правой частью уравнения (1). Значения верны.

Проверка уравнения (4):

$-2\lambda - 4\mu = -2\left(\frac{3}{2}\right) - 4\left(-\frac{1}{2}\right) = -3 + 2 = -1$

Левая часть равна $-1$, что совпадает с правой частью уравнения (4). Значения верны.

Поскольку найденные значения $\lambda$ и $\mu$ удовлетворяют всем четырем уравнениям, это означает, что плоскость $P$ действительно является линейной комбинацией плоскостей $P_1$ и $P_2$. Следовательно, прямая, образованная пересечением $P_1$ и $P_2$, полностью лежит в плоскости $P$.

Ответ:

Да, прямая лежит в плоскости.

258. Прямая задана уравнениями $ \frac{x+5}{5} = \frac{y+4}{4} = \frac{z+3}{3} $. Найдите расстояния от каких-либо двух точек этой прямой до плоскости $ 2x + 2y - z = 0 $.

Дано:
Уравнение прямой $L$: $\frac{x+5}{5} = \frac{y+4}{4} = \frac{z+3}{3}$
Уравнение плоскости $P$: $2x + 2y - z = 0$

Перевод в систему СИ:
Данные являются координатами и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:
Расстояние от каких-либо двух точек прямой $L$ до плоскости $P$.

Решение:

Сначала определим параметры прямой и плоскости.Уравнение прямой $\frac{x+5}{5} = \frac{y+4}{4} = \frac{z+3}{3}$ имеет вид $\frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n}$. Из него можно определить точку на прямой $M_0(-5, -4, -3)$ и направляющий вектор прямой $\vec{v}=(5, 4, 3)$.

Уравнение плоскости $2x + 2y - z = 0$ имеет вид $Ax+By+Cz+D=0$. Из него можно определить нормальный вектор плоскости $\vec{n}=(2, 2, -1)$.

Далее, проверим взаимное расположение прямой и плоскости, вычислив скалярное произведение направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости:$ \vec{v} \cdot \vec{n} = (5)(2) + (4)(2) + (3)(-1) = 10 + 8 - 3 = 15 $

Так как скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n} = 15 \neq 0$, прямая не параллельна плоскости, следовательно, она пересекает плоскость.

Найдем точку пересечения прямой и плоскости. Представим уравнение прямой в параметрической форме, приравняв все части к параметру $t$:$ \frac{x+5}{5} = \frac{y+4}{4} = \frac{z+3}{3} = t $

Отсюда выразим $x, y, z$ через $t$:$ x = 5t - 5 $

$ y = 4t - 4 $

$ z = 3t - 3 $

Подставим эти выражения для $x, y, z$ в уравнение плоскости $2x + 2y - z = 0$:$ 2(5t - 5) + 2(4t - 4) - (3t - 3) = 0 $

$ 10t - 10 + 8t - 8 - 3t + 3 = 0 $

$ 15t - 15 = 0 $

$ 15t = 15 $

$ t = 1 $

Теперь найдем координаты точки пересечения $M_I$, подставив $t=1$:$ x_I = 5(1) - 5 = 0 $

$ y_I = 4(1) - 4 = 0 $

$ z_I = 3(1) - 3 = 0 $

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости – это $M_I(0, 0, 0)$.

Теперь вычислим расстояния от двух точек прямой до плоскости.Поскольку прямая пересекает плоскость, расстояние от различных точек прямой до плоскости будет разным.

Для вычисления расстояния от точки $(x_1, y_1, z_1)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ используется формула $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

**Первая точка:** Точка пересечения $M_I(0, 0, 0)$.Для точки $M_I(0, 0, 0)$ и плоскости $2x + 2y - z = 0$:$ d_1 = \frac{|2(0) + 2(0) - (0)|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|0|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{0}{\sqrt{9}} = 0 $

**Вторая точка:** Возьмем точку $M_0(-5, -4, -3)$, которая была получена из уравнения прямой.Для точки $M_0(-5, -4, -3)$ и плоскости $2x + 2y - z = 0$:$ d_2 = \frac{|2(-5) + 2(-4) - (-3)|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} $

$ d_2 = \frac{|-10 - 8 + 3|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} $

$ d_2 = \frac{|-15|}{\sqrt{9}} $

$ d_2 = \frac{15}{3} = 5 $

Расстояние от точек прямой до плоскости не является постоянным, так как прямая пересекает плоскость. Мы нашли два различных расстояния для двух выбранных точек.

Ответ: Расстояние от точки $M_I(0,0,0)$ прямой до плоскости равно $0$. Расстояние от точки $M_0(-5,-4,-3)$ прямой до плоскости равно $5$.

259. При каких значениях $t$ угол между прямыми, содержащими векторы $\vec{a}(0; 1; t)$ и $\vec{b}(-1; 0; t)$, равен:

a) $90^{\circ}$;

б) $60^{\circ}$?

Дано:

Векторы $\vec{a} = (0; 1; t)$ и $\vec{b} = (-1; 0; t)$.

Найти:

Значения $t$, при которых угол $\phi$ между прямыми, содержащими векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, равен:

а) $90^\circ$

б) $60^\circ$

Решение:

Угол $\phi$ между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется формулой:

$\cos \phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

Сначала вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (0) \cdot (-1) + (1) \cdot (0) + (t) \cdot (t) = 0 + 0 + t^2 = t^2$

Затем вычислим модули (длины) векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + t^2} = \sqrt{1 + t^2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + t^2} = \sqrt{1 + t^2}$

Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \phi = \frac{t^2}{\sqrt{1 + t^2} \cdot \sqrt{1 + t^2}} = \frac{t^2}{1 + t^2}$

Теперь рассмотрим каждый из случаев.

а) 90°

Если угол между прямыми равен $90^\circ$, то $\cos 90^\circ = 0$.

Приравняем выражение для $\cos \phi$ к $0$:

$\frac{t^2}{1 + t^2} = 0$

Дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Заметим, что $1 + t^2$ всегда больше или равно $1$ (так как $t^2 \ge 0$), поэтому знаменатель никогда не равен нулю.

Следовательно, $t^2 = 0$, откуда $t = 0$.

Ответ: $t=0$

б) 60°

Если угол между прямыми равен $60^\circ$, то $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.

Приравняем выражение для $\cos \phi$ к $\frac{1}{2}$:

$\frac{t^2}{1 + t^2} = \frac{1}{2}$

Перемножим крест-накрест:

$2 \cdot t^2 = 1 \cdot (1 + t^2)$

$2t^2 = 1 + t^2$

Перенесем $t^2$ в левую часть уравнения:

$2t^2 - t^2 = 1$

$t^2 = 1$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$t = \pm 1$

Ответ: $t=\pm 1$

260. Прямые заданы уравнениями $\frac{x-3}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-4}{3}$ и $\frac{x-1}{t^2} = \frac{y-3}{1} = \frac{z+2}{-3}$. При каких значениях t эти прямые перпендикулярны?

Дано:

Прямые заданы уравнениями:

$L_1: \frac{x-3}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-4}{3}$

$L_2: \frac{x-1}{t^2} = \frac{y-3}{1} = \frac{z+2}{-3}$

Найти:

Значения $t$, при которых прямые $L_1$ и $L_2$ перпендикулярны.

Решение:

Прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы ортогональны. Это означает, что скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю.

Направляющий вектор первой прямой $L_1$ определяется знаменателями в ее каноническом уравнении: $\vec{s_1} = (2, 1, 3)$.

Направляющий вектор второй прямой $L_2$ определяется знаменателями в ее каноническом уравнении: $\vec{s_2} = (t^2, 1, -3)$.

Условие ортогональности двух векторов $\vec{s_1} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{s_2} = (x_2, y_2, z_2)$ выражается как $x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = 0$.

Применяем это условие к нашим векторам $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$:

$(2)(t^2) + (1)(1) + (3)(-3) = 0$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$2t^2 + 1 - 9 = 0$

$2t^2 - 8 = 0$

Переносим константу в правую часть уравнения:

$2t^2 = 8$

Делим обе части уравнения на 2:

$t^2 = \frac{8}{2}$

$t^2 = 4$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей, помня о двух возможных значениях:

$t = \pm\sqrt{4}$

$t = \pm 2$

Ответ:

Прямые перпендикулярны при $t = 2$ или $t = -2$.

261. Векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ попарно перпендикулярны, а их длины соответственно равны 3, 2, 6, $\vec{d} = \vec{a} + 3\vec{b} + \vec{c}$ и $\vec{p} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$. Найдите угол между:
а) прямыми, на которых лежат векторы $\vec{d}$ и $\vec{p}$;
б) прямой, содержащей вектор $\vec{d}$, и плоскостью $x + 2y + 2z - 1 = 0$;
в) плоскостью, заданной векторами $\vec{d}$ и $\vec{p}$, и плоскостью $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$.

Дано

Векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ попарно перпендикулярны. Их длины: $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $|\vec{c}| = 6$.

Векторы $\vec{d} = \vec{a} + 3\vec{b} + \vec{c}$ и $\vec{p} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$.

Уравнения плоскостей:

Плоскость 1: $x + 2y + 2z - 1 = 0$

Плоскость 2: $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$

Найти:

а) Угол между прямыми, на которых лежат векторы $\vec{d}$ и $\vec{p}$.

б) Угол между прямой, содержащей вектор $\vec{d}$, и плоскостью $x + 2y + 2z - 1 = 0$.

в) Угол между плоскостью, заданной векторами $\vec{d}$ и $\vec{p}$, и плоскостью $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$.

Решение

Так как векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ попарно перпендикулярны, их скалярные произведения равны нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$, $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$. Также $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$.

Для удобства вычислений введем ортонормированный базис $(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3})$, такой что $\vec{a} = |\vec{a}|\vec{e_1}$, $\vec{b} = |\vec{b}|\vec{e_2}$, $\vec{c} = |\vec{c}|\vec{e_3}$.Тогда $\vec{a} = (3, 0, 0)$, $\vec{b} = (0, 2, 0)$, $\vec{c} = (0, 0, 6)$ в этом базисе.

Найдем координаты векторов $\vec{d}$ и $\vec{p}$:

$\vec{d} = \vec{a} + 3\vec{b} + \vec{c} = (3, 0, 0) + 3(0, 2, 0) + (0, 0, 6) = (3, 0, 0) + (0, 6, 0) + (0, 0, 6) = (3, 6, 6)$.

$\vec{p} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c} = (3, 0, 0) - (0, 2, 0) - (0, 0, 6) = (3, -2, -6)$.

Найдем длины векторов $\vec{d}$ и $\vec{p}$:

$|\vec{d}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36 + 36} = \sqrt{81} = 9$.

$|\vec{p}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.

Найдем скалярное произведение $\vec{d} \cdot \vec{p}$:

$\vec{d} \cdot \vec{p} = (3)(3) + (6)(-2) + (6)(-6) = 9 - 12 - 36 = -39$.

Alternatively, using vector properties:

$\vec{d} \cdot \vec{p} = (\vec{a} + 3\vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{b} - \vec{c})$

$= \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} + 3\vec{b} \cdot \vec{a} - 3\vec{b} \cdot \vec{b} - 3\vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} - \vec{c} \cdot \vec{b} - \vec{c} \cdot \vec{c}$

Используя попарную перпендикулярность ($\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$, $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$):

$= |\vec{a}|^2 - 3|\vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2 = 3^2 - 3(2^2) - 6^2 = 9 - 3(4) - 36 = 9 - 12 - 36 = -39$.

Длины векторов:

$|\vec{d}|^2 = (\vec{a} + 3\vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + 3\vec{b} + \vec{c}) = |\vec{a}|^2 + (3|\vec{b}|)^2 + |\vec{c}|^2 = 3^2 + 9(2^2) + 6^2 = 9 + 36 + 36 = 81 \Rightarrow |\vec{d}| = 9$.

$|\vec{p}|^2 = (\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 = 3^2 + 2^2 + 6^2 = 9 + 4 + 36 = 49 \Rightarrow |\vec{p}| = 7$.

а) прямыми, на которых лежат векторы $\vec{d}$ и $\vec{p}$

Угол $\theta$ между двумя прямыми, заданными векторами $\vec{d}$ и $\vec{p}$, определяется формулой $\cos \theta = \frac{|\vec{d} \cdot \vec{p}|}{|\vec{d}| |\vec{p}|}$.

$\cos \theta = \frac{|-39|}{9 \cdot 7} = \frac{39}{63}$.

Сократим дробь: $\frac{39 \div 3}{63 \div 3} = \frac{13}{21}$.

$\theta = \arccos \left(\frac{13}{21}\right)$.

Ответ: $\theta = \arccos \left(\frac{13}{21}\right)$

б) прямой, содержащей вектор $\vec{d}$, и плоскостью $x + 2y + 2z - 1 = 0$

Направляющий вектор прямой - это $\vec{d} = (3, 6, 6)$.

Нормальный вектор плоскости $x + 2y + 2z - 1 = 0$ это $\vec{n} = (1, 2, 2)$.

Длина нормального вектора $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

Угол $\phi$ между прямой и плоскостью определяется формулой $\sin \phi = \frac{|\vec{d} \cdot \vec{n}|}{|\vec{d}| |\vec{n}|}$.

Найдем скалярное произведение $\vec{d} \cdot \vec{n}$:$\vec{d} \cdot \vec{n} = (3)(1) + (6)(2) + (6)(2) = 3 + 12 + 12 = 27$.

$\sin \phi = \frac{|27|}{9 \cdot 3} = \frac{27}{27} = 1$.

Так как $\sin \phi = 1$, то $\phi = \frac{\pi}{2}$ радиан (или $90^\circ$). Это означает, что прямая перпендикулярна плоскости.

Ответ: $\phi = \frac{\pi}{2}$

в) плоскостью, заданной векторами $\vec{d}$ и $\vec{p}$, и плоскостью $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$

Сначала найдем нормальный вектор $\vec{N_1}$ к плоскости, заданной векторами $\vec{d}$ и $\vec{p}$. Этот вектор находится как векторное произведение $\vec{d} \times \vec{p}$.

$\vec{N_1} = \vec{d} \times \vec{p} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 6 & 6 \\ 3 & -2 & -6 \end{vmatrix}$

$= \vec{i}((6)(-6) - (6)(-2)) - \vec{j}((3)(-6) - (6)(3)) + \vec{k}((3)(-2) - (6)(3))$

$= \vec{i}(-36 + 12) - \vec{j}(-18 - 18) + \vec{k}(-6 - 18)$

$= -24\vec{i} + 36\vec{j} - 24\vec{k}$.

Таким образом, $\vec{N_1} = (-24, 36, -24)$. Для упрощения можно использовать сонаправленный вектор $\vec{N_1}' = (-2, 3, -2)$ (разделив на 12).

Длина нормального вектора $|\vec{N_1}'| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$.

Далее, найдем нормальный вектор $\vec{N_2}$ ко второй плоскости. Уравнение плоскости $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$.

Приведем уравнение к общему виду $Ax + By + Cz + D = 0$, умножив на 6:

$3x - 2y + 2z = 6 \Rightarrow 3x - 2y + 2z - 6 = 0$.

Нормальный вектор $\vec{N_2} = (3, -2, 2)$.

Длина нормального вектора $|\vec{N_2}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17}$.

Угол $\psi$ между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами.$\cos \psi = \frac{|\vec{N_1}' \cdot \vec{N_2}|}{|\vec{N_1}'| |\vec{N_2}|}$.

Найдем скалярное произведение $\vec{N_1}' \cdot \vec{N_2}$:$\vec{N_1}' \cdot \vec{N_2} = (-2)(3) + (3)(-2) + (-2)(2) = -6 - 6 - 4 = -16$.

$\cos \psi = \frac{|-16|}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{17}} = \frac{16}{17}$.

$\psi = \arccos \left(\frac{16}{17}\right)$.

Ответ: $\psi = \arccos \left(\frac{16}{17}\right)$

262. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB = AD = 2$, $DD_1 = 4$. Найдите:

а) расстояние от точки $A$ до плоскости $C_1NK$, где $N$ – середина $BC$, $K$ – середина $DC$;

б) угол между прямой $AM$, где $M$ – центр грани $BB_1C_1C$, и плоскостью $BB_1D$;

в) угол между плоскостями $BB_1D$ и $ABC_1$.

Дано:
Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$
$AB = 2$
$AD = 2$
$DD_1 = 4$
N - середина BC
K - середина DC
M - центр грани $BB_1C_1C$

Перевод в систему СИ:
Длина, ширина и высота параллелепипеда даны без указания единиц измерения. Будем считать, что они выражены в условных единицах длины, и производить расчеты в этих же единицах. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
a) расстояние от точки A до плоскости $C_1NK$
б) угол между прямой AM и плоскостью $BB_1D$
в) угол между плоскостями $BB_1D$ и $ABC_1$

Решение:
Введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат совпадает с вершиной A. Ось x направим вдоль ребра AB, ось y вдоль ребра AD, ось z вдоль ребра $AA_1$. Тогда координаты вершин параллелепипеда будут: $A = (0, 0, 0)$
$B = (2, 0, 0)$
$D = (0, 2, 0)$
$A_1 = (0, 0, 4)$
$C = (2, 2, 0)$ (так как ABCD - прямоугольник с $AB=2$, $AD=2$)
$B_1 = (2, 0, 4)$
$D_1 = (0, 2, 4)$
$C_1 = (2, 2, 4)$

Найдем координаты точек N, K, M: N - середина BC: $N = \left(\frac{2+2}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (2, 1, 0)$
K - середина DC: $K = \left(\frac{0+2}{2}, \frac{2+2}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 2, 0)$
M - центр грани $BB_1C_1C$. Эта грань является прямоугольником с вершинами B(2,0,0), $B_1$(2,0,4), $C_1$(2,2,4), C(2,2,0). Координаты центра грани - это среднее арифметическое координат ее вершин (или середина диагонали $BC_1$): $M = \left(\frac{2+2}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{0+4}{2}\right) = (2, 1, 2)$

а) расстояние от точки A до плоскости C₁NK

Для определения расстояния от точки A(0, 0, 0) до плоскости $C_1NK$, сначала найдем уравнение этой плоскости. Используем точки $C_1(2, 2, 4)$, N(2, 1, 0), K(1, 2, 0). Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости: $\vec{NK} = K - N = (1-2, 2-1, 0-0) = (-1, 1, 0)$
$\vec{NC_1} = C_1 - N = (2-2, 2-1, 4-0) = (0, 1, 4)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $C_1NK$ можно найти как векторное произведение $\vec{NK} \times \vec{NC_1}$: $\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 4 - 0 \cdot 1) - \vec{j}(-1 \cdot 4 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(-1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = 4\vec{i} + 4\vec{j} - 1\vec{k} = (4, 4, -1)$

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используем нормальный вектор $(4, 4, -1)$ и точку N(2, 1, 0): $4(x - 2) + 4(y - 1) - 1(z - 0) = 0$
$4x - 8 + 4y - 4 - z = 0$
$4x + 4y - z - 12 = 0$

Расстояние от точки $A(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
Для точки A(0, 0, 0) и плоскости $4x + 4y - z - 12 = 0$: $d = \frac{|4(0) + 4(0) - (0) - 12|}{\sqrt{4^2 + 4^2 + (-1)^2}} = \frac{|-12|}{\sqrt{16 + 16 + 1}} = \frac{12}{\sqrt{33}}$
Рационализируем знаменатель: $d = \frac{12\sqrt{33}}{33} = \frac{4\sqrt{33}}{11}$

Ответ: $\frac{4\sqrt{33}}{11}$

б) угол между прямой AM, где M – центр грани BB₁C₁C, и плоскостью BB₁D

Для определения угла между прямой AM и плоскостью $BB_1D$, найдем направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости. Точка A = (0, 0, 0), точка M = (2, 1, 2). Направляющий вектор прямой AM: $\vec{AM} = M - A = (2, 1, 2)$
Длина вектора $|\vec{AM}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$

Плоскость $BB_1D$ проходит через точки B(2, 0, 0), $B_1$(2, 0, 4), D(0, 2, 0). Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости: $\vec{B_1B} = B - B_1 = (2-2, 0-0, 0-4) = (0, 0, -4)$
$\vec{BD} = D - B = (0-2, 2-0, 0-0) = (-2, 2, 0)$

Нормальный вектор $\vec{n}_{BB_1D}$ к плоскости $BB_1D$: $\vec{n}_{BB_1D} = \vec{B_1B} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -4 \\ -2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 0 - (-4) \cdot 2) - \vec{j}(0 \cdot 0 - (-4) \cdot (-2)) + \vec{k}(0 \cdot 2 - 0 \cdot (-2))$
$\vec{n}_{BB_1D} = 8\vec{i} - 8\vec{j} + 0\vec{k} = (8, -8, 0)$. Можно использовать более простой нормальный вектор, пропорциональный ему, например $\vec{n}'_{BB_1D} = (1, -1, 0)$ (разделив на 8). Длина вектора $|\vec{n}'_{BB_1D}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}$

Угол $\phi$ между прямой и плоскостью связан с углом $\alpha$ между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости соотношением $\sin \phi = |\cos \alpha|$. $\cos \alpha = \frac{|\vec{AM} \cdot \vec{n}'_{BB_1D}|}{|\vec{AM}| \cdot |\vec{n}'_{BB_1D}|}$
Скалярное произведение $\vec{AM} \cdot \vec{n}'_{BB_1D} = (2)(1) + (1)(-1) + (2)(0) = 2 - 1 + 0 = 1$
$\cos \alpha = \frac{|1|}{3 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{6}$
Тогда $\sin \phi = \frac{\sqrt{2}}{6}$
Следовательно, $\phi = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right)$

Ответ: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right)$

в) угол между плоскостями BB₁D и ABC₁

Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Нормальный вектор для плоскости $BB_1D$ уже найден в пункте б): $\vec{n}_1 = (1, -1, 0)$
Длина вектора $|\vec{n}_1| = \sqrt{2}$

Теперь найдем нормальный вектор для плоскости $ABC_1$. Точки: A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), $C_1$(2, 2, 4). Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{AB} = B - A = (2, 0, 0)$
$\vec{AC_1} = C_1 - A = (2, 2, 4)$

Нормальный вектор $\vec{n}_2$ к плоскости $ABC_1$: $\vec{n}_2 = \vec{AB} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 4 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 4 - 0 \cdot 2) - \vec{j}(2 \cdot 4 - 0 \cdot 2) + \vec{k}(2 \cdot 2 - 0 \cdot 2)$
$\vec{n}_2 = 0\vec{i} - 8\vec{j} + 4\vec{k} = (0, -8, 4)$. Можно использовать более простой нормальный вектор $\vec{n}'_2 = (0, -2, 1)$ (разделив на 4). Длина вектора $|\vec{n}'_2| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{0+4+1} = \sqrt{5}$

Пусть $\theta$ - угол между плоскостями. Тогда $\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}'_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}'_2|}$. Скалярное произведение $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}'_2 = (1)(0) + (-1)(-2) + (0)(1) = 0 + 2 + 0 = 2$
$\cos \theta = \frac{|2|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$
Рационализируем знаменатель: $\cos \theta = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5}$
Следовательно, $\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)$

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)$

уровень В

263. Запишите уравнение фигуры, состоящей из множества всех точек, удаленных на расстояние, равное 9, от координатной плоскости $Oyz$.

Дано

Расстояние от точки до координатной плоскости $Oyz$ равно $9$.

Найти:

Уравнение фигуры.

Решение

Пусть $M(x, y, z)$ – произвольная точка, принадлежащая искомой фигуре. Координатная плоскость $Oyz$ задается уравнением $x = 0$. Общее уравнение плоскости в трехмерном пространстве имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Для плоскости $Oyz$ это уравнение $1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z + 0 = 0$. Расстояние $d$ от точки $M(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Применяя эту формулу для точки $M(x, y, z)$ и плоскости $Oyz$ ($x=0$, то есть $A=1, B=0, C=0, D=0$), получаем расстояние:

$d = \frac{|1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z + 0|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = \frac{|x|}{\sqrt{1}} = |x|$

По условию задачи, это расстояние равно $9$. Таким образом, мы имеем уравнение:

$|x| = 9$

Это равенство выполняется, если $x = 9$ или $x = -9$. Следовательно, искомая фигура состоит из всех точек, у которых координата $x$ равна $9$ или $-9$, а координаты $y$ и $z$ могут быть любыми действительными числами. Это описывает две плоскости, параллельные координатной плоскости $Oyz$.

Ответ:

$x = \pm 9$

264. Две вершины правильного тетраэдра $PABC$ лежат на оси $Ox$, а третьей является точка $(0; 6; 0)$. Найдите высоту $PH$ этого тетраэдра.

Дано:

Правильный тетраэдр $PABC$.

Две вершины (пусть это $A$ и $B$) лежат на оси $Ox$.

Третья вершина $C = (0; 6; 0)$.

Найти:

Высоту $PH$ этого тетраэдра.

Решение:

Пусть $a$ — длина ребра правильного тетраэдра $PABC$.

Так как вершины $A$ и $B$ лежат на оси $Ox$, их координаты можно обозначить как $A(x_A, 0, 0)$ и $B(x_B, 0, 0)$.

Третья вершина $C$ имеет координаты $(0, 6, 0)$.

Поскольку тетраэдр является правильным, все его ребра имеют одинаковую длину. Следовательно, длины ребер $AC$, $BC$ и $AB$ равны $a$.

Используем формулу расстояния между точками для вычисления квадратов длин этих ребер:

$AC^2 = (x_A - 0)^2 + (0 - 6)^2 + (0 - 0)^2 = x_A^2 + (-6)^2 + 0^2 = x_A^2 + 36$.

$BC^2 = (x_B - 0)^2 + (0 - 6)^2 + (0 - 0)^2 = x_B^2 + (-6)^2 + 0^2 = x_B^2 + 36$.

$AB^2 = (x_A - x_B)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2 = (x_A - x_B)^2$.

Поскольку $AC^2 = BC^2 = a^2$, получаем равенство:

$x_A^2 + 36 = x_B^2 + 36$.

Отсюда следует, что $x_A^2 = x_B^2$. Это означает, что $x_A = x_B$ или $x_A = -x_B$.

Если бы $x_A = x_B$, то точки $A$ и $B$ совпадали бы, что невозможно для вершин тетраэдра.

Следовательно, $x_A = -x_B$.

Пусть $x_A = x_0$. Тогда $x_B = -x_0$.

Таким образом, координаты вершин $A$ и $B$ равны $A(x_0, 0, 0)$ и $B(-x_0, 0, 0)$.

Теперь выразим $a^2$ через $x_0$, используя $AC^2$ и $AB^2$:

$a^2 = AC^2 = x_0^2 + 36$.

$a^2 = AB^2 = (x_0 - (-x_0))^2 = (2x_0)^2 = 4x_0^2$.

Приравниваем эти два выражения для $a^2$:

$x_0^2 + 36 = 4x_0^2$.

$36 = 4x_0^2 - x_0^2$.

$36 = 3x_0^2$.

$x_0^2 = \frac{36}{3}$.

$x_0^2 = 12$.

Извлекаем квадратный корень: $x_0 = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$.

Возьмем, например, $x_0 = 2\sqrt{3}$.

Теперь найдем длину ребра $a$ тетраэдра:

$a = \sqrt{4x_0^2} = \sqrt{4 \cdot 12} = \sqrt{48}$.

$a = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.

Высота $h$ правильного тетраэдра с ребром длиной $a$ вычисляется по формуле:

$h = a \sqrt{\frac{2}{3}}$.

Подставляем найденное значение $a = 4\sqrt{3}$ в формулу высоты:

$h = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Сокращаем $\sqrt{3}$:

$h = 4\sqrt{2}$.

Таким образом, высота $PH$ этого тетраэдра равна $4\sqrt{2}$.

Ответ: $4\sqrt{2}$

265. Из точки $M(0; 0; 18)$ к плоскости $Oxy$ проведены наклонные $MK$ и $MN$, длины ортогональных проекций которых на эту плоскость соответственно равны 40 и 30, а $KN = 50$. Найдите расстояние от ортогональной проекции точки $M$ на плоскость $Oxy$ до плоскости $MNK$.

Дано:

Из точки $M(0; 0; 18)$ к плоскости $Oxy$ проведены наклонные $MK$ и $MN$.

Длины ортогональных проекций этих наклонных на плоскость $Oxy$ равны $40$ и $30$ соответственно. Обозначим их как $M'K$ и $M'N$, где $M'$ - проекция точки $M$ на плоскость $Oxy$.

Расстояние $KN = 50$.

Перевод в СИ:

Все данные представлены в условных единицах длины, преобразование в СИ не требуется.

Найти:

Расстояние от ортогональной проекции точки $M$ на плоскость $Oxy$ до плоскости $MNK$.

Решение:

Обозначим ортогональную проекцию точки $M(0;0;18)$ на плоскость $Oxy$ как $M'$. Очевидно, что $M'=(0;0;0)$.

Поскольку $MK$ и $MN$ являются наклонными к плоскости $Oxy$, а их ортогональные проекции имеют длины $40$ и $30$ соответственно, это означает, что точки $K$ и $N$ лежат непосредственно в плоскости $Oxy$. Таким образом, $K$ является проекцией $K$ на $Oxy$, а $N$ является проекцией $N$ на $Oxy$. Тогда длины проекций, упомянутые в условии, это длины отрезков $M'K$ и $M'N$.

У нас есть длины отрезков в плоскости $Oxy$: $M'K = 40$, $M'N = 30$, и расстояние между точками $K$ и $N$ равно $KN = 50$. Проверим, является ли треугольник $M'KN$ прямоугольным:

$M'K^2 + M'N^2 = 40^2 + 30^2 = 1600 + 900 = 2500$

$KN^2 = 50^2 = 2500$

Поскольку $M'K^2 + M'N^2 = KN^2$, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $M'KN$ является прямоугольным с прямым углом в вершине $M'$.

Расположим систему координат так, чтобы $M'$ была в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку отрезки $M'K$ и $M'N$ перпендикулярны, мы можем совместить их с осями координат. Пусть $M'K$ лежит на оси $Ox$, а $M'N$ на оси $Oy$.

Тогда координаты точек будут:

$M'=(0,0,0)$

$K=(40,0,0)$

$N=(0,30,0)$

$M=(0,0,18)$

Нам требуется найти расстояние от точки $M'(0,0,0)$ до плоскости $MNK$.

Для этого сначала найдем уравнение плоскости $MNK$. Уравнение плоскости общего вида: $Ax + By + Cz + D = 0$.

Определим два вектора, лежащие в плоскости $MNK$, например, $\vec{MK}$ и $\vec{MN}$:

$\vec{MK} = K - M = (40-0, 0-0, 0-18) = (40, 0, -18)$

$\vec{MN} = N - M = (0-0, 30-0, 0-18) = (0, 30, -18)$

Нормальный вектор $\vec{n}=(A,B,C)$ к плоскости $MNK$ можно найти как векторное произведение этих двух векторов:

$\vec{n} = \vec{MK} \times \vec{MN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 40 & 0 & -18 \\ 0 & 30 & -18 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \mathbf{i}(0 \cdot (-18) - (-18) \cdot 30) - \mathbf{j}(40 \cdot (-18) - (-18) \cdot 0) + \mathbf{k}(40 \cdot 30 - 0 \cdot 0)$

$\vec{n} = \mathbf{i}(540) - \mathbf{j}(-720) + \mathbf{k}(1200)$

$\vec{n} = (540, 720, 1200)$

Для упрощения нормального вектора, разделим его компоненты на их наибольший общий делитель, который равен $60$:

$\vec{n} = (\frac{540}{60}, \frac{720}{60}, \frac{1200}{60}) = (9, 12, 20)$

Таким образом, уравнение плоскости $MNK$ имеет вид $9x + 12y + 20z + D = 0$.

Для нахождения значения $D$ подставим координаты одной из точек, принадлежащих плоскости, например, $M(0,0,18)$:

$9(0) + 12(0) + 20(18) + D = 0$

$360 + D = 0 \implies D = -360$

Следовательно, уравнение плоскости $MNK$ есть $9x + 12y + 20z - 360 = 0$.

Теперь вычислим расстояние $d$ от точки $M'(0,0,0)$ до этой плоскости, используя формулу для расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае $(x_0, y_0, z_0) = (0,0,0)$, $A=9$, $B=12$, $C=20$, $D=-360$.

$d = \frac{|9(0) + 12(0) + 20(0) - 360|}{\sqrt{9^2 + 12^2 + 20^2}}$

$d = \frac{|-360|}{\sqrt{81 + 144 + 400}}$

$d = \frac{360}{\sqrt{225 + 400}}$

$d = \frac{360}{\sqrt{625}}$

$d = \frac{360}{25}$

$d = 14.4$

Ответ:

$14.4$